Considere um sistema de reatores em série, cuja configuração mais adequada é o CSTR seguido de um PFR. A reação A+4 B \rightarrow 5 C é processada em fase gasosa, porém, o engenheiro (novato) responsável pela unidade constata através de uma inspeção rotineira que a corrente efluente do PFR contém líquido. Foram providenciadas medições e análises desta corrente e se verificou que a única espécie presente na fase líquida é o produto “C” a uma vazão de 100 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}. Recorreu-se às condições operacionais, encontrando uma conversão de condensação de 60 \%, vazão de alimentação de " A " igual a 50 \mathrm{~mol} / \mathrm{min} e de " B " igual a 200 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}, a vazão volumétrica de alimentação é 5 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{min}, sistema isotérmico e isobárico. A lei de velocidade é de 1^{\underline{a}} ordem em relação a " A " e 1 ạ ordem em relação a " B " e a constante da taxa é 0,13 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{min} mol. A pressão de vapor de “C” é 16 kPa . A conversão de saída do CSTR é 40 \%. Calcule o volume do PFR. Resp. Vpfr =1,76 \mathrm{~m}^{3}

Passo 1

O enunciado pede o volume do reator PFR na sequência CSTR → PFR para a reação
A + 4B \rightarrow 5C.
Dados relevantes (todos extraídos do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Vazão molar de alimentação:}\quad F_{A0}=50\\ \mathrm{mol/min},\quad F_{B0}=200\\ \mathrm{mol/min}.\\\ &\text{Vazão volumétrica de alimentação:}\quad \dot{V}_0=5\\ \mathrm{dm^3/min}.\\\ &\text{CSTR: conversão de saída (em A)}\quad X_{CSTR}=40\%=0{,}40.\\\ &\text{No efluente do PFR existe fase líquida de C com vazão (líquido)}\quad F_{C,\ell}=100\\ \mathrm{mol/min}.\\\ &\text{Conversão por condensação (no efluente) = }60\%=0{,}60.\\\ &\text{Lei de velocidade: }r = k\,C_A\,C_B\quad\text{com}\quad k=0{,}13\\ \mathrm{dm^3/(mol\; min)}.\\\ &\text{Sistema isotérmico e isobárico.}\\\ &\text{Pressão de vapor de }C:\; p_C^{sat}=16\\ \mathrm{kPa} \\ \\ (\text{dado, será citado se necessário}).\\\ &\text{Conversão de saída do CSTR dada: }X_{CSTR}=0{,}40 \\ (\text{repetido para ênfase}).\\\ \end{aligned}ãçããéçããííãíãçãéáãááãíê
Pergunta explícita: calcular o volume do PFR, V_{PFR}.

Passo 2

Primeiro fazemos balanços molares simples no CSTR (antes do PFR) para saber as vazões que entram no PFR.
Definição: conversão de A no CSTR, X_{CSTR}, é a fração de A consumida no CSTR:
\text{consumo de }A \text{ no CSTR} = F_{A0}\,X_{CSTR}.
Cálculo numérico:
\begin{aligned} &F_{A0}=50\\ \mathrm{mol/min},\quad X_{CSTR}=0{,}40 \\\ &\Rightarrow \text{A consumida no CSTR} = 50\cdot 0{,}40 = 20\\ \mathrm{mol/min}.\\\ &\text{Então }F_{A,\text{in PFR}} = F_{A0}-20 = 50-20 = 30\\ \mathrm{mol/min}. \end{aligned}ã
Pelo estequiométrico, para cada mol de A que reage consomem-se 4 mol de B e formam-se 5 mol de C. Logo o consumo de B no CSTR é
4\times 20 = 80\\ \mathrm{mol/min},
portanto
F_{B,\text{in PFR}} = F_{B0}-80 = 200-80 = 120\\ \mathrm{mol/min}.
E a produção de C no CSTR foi
5\times 20 = 100\\ \mathrm{mol/min},
portanto F_{C,\text{in PFR}} = 100\\ \mathrm{mol/min}.
Resumo das vazões entrando no PFR (saída do CSTR):
F_{A1}=30,\quad F_{B1}=120,\quad F_{C1}=100\quad(\text{todas em mol/min}).

Passo 3

Entender a informação sobre condensação e determinar a conversão de A ocorrida dentro do PFR.
O enunciado diz que, no efluente do PFR, existe líquido constituído somente por C com vazão 100\\ \mathrm{mol/min} e que a “conversão de condensação” é 60\%. A interpretação natural (e consistente com balanço material) é:
  • Dos totais de C produzidos (acumulado CSTR + produção interna do PFR), 60\% termina condensado na corrente de saída e corresponde ao líquido medido de 100\\ \mathrm{mol/min}.
Seja X a conversão de A dentro do PFR (fração da A que entra no PFR e é consumida ali). Então:
  • A reagida no PFR: F_{A1}\,X = 30X (mol/min).
  • C produzido no PFR: 5\times 30X = 150X (mol/min).
  • Total de C produzido ao final do PFR (incluindo o que veio do CSTR): F_{C,\text{total}} = 100 + 150X.
Do enunciado: 60\% desse total condensa e é exatamente 100\\ \mathrm{mol/min}, então
0{,}60\,(100 + 150X) = 100.
Resolver:
100 + 150X = \frac{100}{0{,}60} = 166{,}666\ldots
150X = 66{,}666\ldots \quad\Rightarrow\quad X = \frac{66{,}666\ldots}{150} = 0{,}44444\ldots = \frac{4}{9}.
Portanto a conversão de A ocorrida no PFR é
X=\frac{4}{9}\approx 0{,}4444.
Valores numéricos finais no efluente do PFR (antes da separação/condensação):
\begin{aligned} &\text{C total (gás + líquido antes da separação)} = 100 + 150X = 166{,}666\ldots\\ \mathrm{mol/min}.\\\ &\text{C condensado (líquido)} = 100\\ \mathrm{mol/min}\quad(\text{dado}).\\\ &\text{C em vapor no efluente} = 166{,}666\ldots - 100 = 66{,}666\ldots\\ \mathrm{mol/min}.\\\ &\text{A reagida no PFR} = 30X = 30\cdot \tfrac{4}{9} = 13{,}333\ldots\\ \mathrm{mol/min}.\\\ &\text{A saída do PFR} = 30 - 13{,}333\ldots = 16{,}666\ldots\\ \mathrm{mol/min}.\\\ &\text{B reagida no PFR} = 4\times 13{,}333\ldots = 53{,}333\ldots\\ \mathrm{mol/min}.\\\ &\text{B saída do PFR} = 120 - 53{,}333\ldots = 66{,}666\ldots\\ \mathrm{mol/min}. \end{aligned}áíçãííí
Observação: a reação 1+4\to5 não altera o total de mols por reação (1+4=5), então o fluxo molar total no gás (antes da condensação) permanece constante ao longo do PFR — isso simplifica o cálculo de concentrações.

Passo 4

Escrever a equação de projeto do PFR e expressar as concentrações em função da conversão.
Equação de projeto para PFR (balanço molar por A):
\frac{dF_A}{dV} = r_A,
onde aqui r_A é a velocidade de consumo de A em \mathrm{mol/(dm^3\\ min)}. Usando a conversão X relativa a F_{A1} (entrando no PFR), temos F_A = F_{A1}(1-X) e
F_{A1}\frac{dX}{dV} = -r_A.
Lei de velocidade fornecida:
r_A = -k\,C_A\,C_B,
com k=0{,}13\\ \mathrm{dm^3/(mol\\ min)}.
Concentrações (como o processo é isotérmico e isobárico e a reação não muda o total de mols gasosos, a vazão volumétrica \dot{V} dentro do reator pode ser tomada constante igual à de alimentação \dot{V}_0; assim as concentrações moleculares são simplesmente C_i = F_i/\dot{V}_0):
\begin{aligned} &C_A = \frac{F_A}{\dot{V}_0} = \frac{F_{A1}(1-X)}{\dot{V}_0},\\\ &C_B = \frac{F_B}{\dot{V}_0} = \frac{F_{B1} - 4F_{A1}X}{\dot{V}_0}. \end{aligned}
Substituindo em r_A:
r_A = -k\,\frac{F_{A1}(1-X)}{\dot{V}_0}\cdot\frac{F_{B1} - 4F_{A1}X}{\dot{V}_0} = -\frac{k}{\dot{V}_0^{\,2}}\,F_{A1}(1-X)\big(F_{B1} - 4F_{A1}X\big).
Colocando em F_{A1}\dfrac{dX}{dV}=-r_A obtemos
\frac{dX}{dV} = \frac{k}{\dot{V}_0^{\,2}}(1-X)\big(F_{B1} - 4F_{A1}X\big).
Invertemos e integramos para obter V:
V = \int_{0}^{X}\frac{dX}{\dfrac{k}{\dot{V}_0^{\,2}}(1-X)\big(F_{B1} - 4F_{A1}X\big)} = \frac{\dot{V}_0^{\,2}}{k}\int_{0}^{X}\frac{dX}{(1-X)\big(F_{B1} - 4F_{A1}X\big)}.

Passo 5

Avaliar a integral com os números do problema.
Temos já os valores:
F_{A1}=30\\ \mathrm{mol/min},\quad F_{B1}=120\\ \mathrm{mol/min},\quad \dot{V}_0=5\\ \mathrm{dm^3/min},\quad k=0{,}13\\ \mathrm{dm^3/(mol\\ min)},
e X=\tfrac{4}{9}.
Note que F_{B1} - 4F_{A1}X = 120 - 4\cdot 30 X = 120(1-X) porque 4F_{A1}=120. Assim o denominador simplifica:
(1-X)\big(F_{B1} - 4F_{A1}X\big) = (1-X)\cdot 120(1-X) = 120(1-X)^2.
Portanto a integral fica simples:
\int_0^{X}\frac{dX}{120(1-X)^2} = \frac{1}{120}\int_0^{X}\frac{dX}{(1-X)^2} = \frac{1}{120}\left[\frac{1}{1-X}\right]_{0}^{X} = \frac{1}{120}\left(\frac{1}{1-X}-1\right).
Substituindo na expressão de V:
V = \frac{\dot{V}_0^{\,2}}{k}\cdot\frac{1}{120}\left(\frac{1}{1-X}-1\right).
Agora substituímos numericamente. Primeiro calcule o fator entre parênteses com X=\tfrac{4}{9}:
1-X = 1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9},\qquad \frac{1}{1-X} = \frac{9}{5}=1{,}8,
\frac{1}{1-X}-1 = 1{,}8-1 = 0{,}8.
Então
V = \frac{\dot{V}_0^{\,2}}{k}\cdot\frac{1}{120}\cdot 0{,}8.
Inserindo \dot{V}_0=5\\ \mathrm{dm^3/min} e k=0{,}13\\ \mathrm{dm^3/(mol\\ min)}:
V = \frac{5^2}{0{,}13}\cdot\frac{0{,}8}{120} = \frac{25}{0{,}13}\cdot\frac{0{,}8}{120}.
Calcule passo a passo:
\frac{25}{0{,}13}=192{,}3076923\ldots,\qquad \frac{0{,}8}{120}=0{,}0066666\ldots
V = 192{,}3076923\ldots \times 0{,}0066666\ldots = 1{,}28205128\\ \mathrm{dm^3}.
Converter para metros cúbicos:
1{,}28205128\\ \mathrm{dm^3} = 1{,}28205128\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3} \approx 0{,}001282\\ \mathrm{m^3}.

Passo 6

Interpretação e checagens rápidas (motivação didática):
  • Observamos que a reação tem coeficientes estequiométricos que mantêm o número total de mols gasosos inalterado (1+4→5), por isso a vazão volumétrica no PFR pode ser tratada como constante durante a reação (antes da condensação). Isso simplifica tremendamente a integral de projeto do PFR.
  • A condensação foi tratada como ocorrendo ao final (ou no efluente), de modo que o PFR opera com toda a massa em fase gasosa; o dado de condensado (100 mol/min) e a “conversão de condensação” (60%) foram usados apenas para achar a conversão interna X do PFR.
  • A integral ficou simples por causa da relação F_{B1}=4F_{A1} (débito estequiométrico entrando no PFR), que levou a um denominador \propto(1-X)^2.

Resposta

Vpfr = 1,28205128\ \mathrm{dm^3} = 0{,}001282\ \mathrm{m^3}

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