Q16:Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I é verdadeira.
I) Se
é gerador do
, então
é LI.
II) Se
, então
é LI.
III) Se
não são colineares, então
é LI.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I é verdadeira.
I) Se
II) Se
III) Se
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
com três vetores distintos e define os subconjuntos
,
,
. As afirmações I, II e III envolvem conceitos de conjunto gerador (span) e independência linear (LI). Vamos analisar cada uma usando definições e propriedades básicas de espaços vetoriais em
.
Passo 2
Analisando I: “Se
é gerador de
, então
é LI.”
Em , qualquer conjunto de três vetores que gera
forma base, logo é LI. E todo subconjunto de um conjunto LI também é LI. Portanto,
é LI e I é verdadeira.
Em
Passo 3
Analisando II: “Se
,
,
, então
é LI.”
Para três vetores, a independência linear é equivalente a nenhum deles poder ser escrito como combinação linear dos outros dois. As hipóteses dizem exatamente isso, logo II é verdadeira.
Para três vetores, a independência linear é equivalente a nenhum deles poder ser escrito como combinação linear dos outros dois. As hipóteses dizem exatamente isso, logo II é verdadeira.
Passo 4
Analisando III: “Se
não são colineares, então
é LI.”
Não colineares significa que não estão todos numa reta, mas podem estar num plano e ainda serem dependentes. Exemplo: ,
,
. Esses três não são colineares, mas
, logo são LD. Assim III é falsa.
Não colineares significa que não estão todos numa reta, mas podem estar num plano e ainda serem dependentes. Exemplo:
Passo 5
Das três afirmações, apenas I e II são verdadeiras.
Resposta
(B)