Q16:Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I é verdadeira.
I) Se S é gerador do \mathbb{R}^{3}, então A é LI.
II) Se \vec{v}_{3} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, \vec{v}_{2} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, \vec{v}_{1} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}, então \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} é LI.
III) Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S é LI.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto S=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb{R}^3 com três vetores distintos e define os subconjuntos A=\{\vec v_1,\vec v_2\}, B=\{\vec v_1,\vec v_3\}, C=\{\vec v_2,\vec v_3\}. As afirmações I, II e III envolvem conceitos de conjunto gerador (span) e independência linear (LI). Vamos analisar cada uma usando definições e propriedades básicas de espaços vetoriais em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Analisando I: “Se S é gerador de \mathbb{R}^3, então A é LI.”
Em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto de três vetores que gera \mathbb{R}^3 forma base, logo é LI. E todo subconjunto de um conjunto LI também é LI. Portanto, A é LI e I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Se \vec v_3\notin\mathrm{span}\{\vec v_1,\vec v_2\}, \vec v_2\notin\mathrm{span}\{\vec v_1,\vec v_3\}, \vec v_1\notin\mathrm{span}\{\vec v_2,\vec v_3\}, então \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} é LI.”
Para três vetores, a independência linear é equivalente a nenhum deles poder ser escrito como combinação linear dos outros dois. As hipóteses dizem exatamente isso, logo II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: “Se \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 não são colineares, então S é LI.”
Não colineares significa que não estão todos numa reta, mas podem estar num plano e ainda serem dependentes. Exemplo: \vec v_1=(1,0,0), \vec v_2=(0,1,0), \vec v_3=\vec v_1+\vec v_2. Esses três não são colineares, mas \vec v_3\in\mathrm{span}\{\vec v_1,\vec v_2\}, logo são LD. Assim III é falsa.

Passo 5

Das três afirmações, apenas I e II são verdadeiras.

Resposta

(B)

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