Responda os itens a seguir.
a) (0,5) Mostre que \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|+2(\vec{u} \bullet \vec{v})+\|\vec{v}\|^{2}.
b) (1,5) Dados \vec{u} e \vec{v} vetores tais que \vec{u} é unitário, \|\vec{v}\|=\sqrt{2} e ang( \vec{u}, \vec{v})=45^{\circ}, determine a medida angular entre \vec{u}+\vec{v} e -\vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede dois itens. No item (a) devemos provar a identidade envolvendo norma e produto escalar. No item (b) temos vetores \vec u e \vec v com \|\vec u\|=1, \|\vec v\|=\sqrt{2} e \angle(\vec u,\vec v)=45^\circ, e precisamos achar o ângulo entre \vec u+\vec v e -\vec v. Usaremos definição de norma, propriedades do produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Para mostrar que
\|\vec u+\vec v\|^{2}=\|\vec u\|^{2}+2(\vec u\cdot\vec v)+\|\vec v\|^{2},
lembre que por definição
\|\vec x\|^{2}=\vec x\cdot\vec x.
Então
\|\vec u+\vec v\|^{2}=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v) =\vec u\cdot\vec u+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec v =\|\vec u\|^{2}+2(\vec u\cdot\vec v)+\|\vec v\|^{2}.

Passo 3

Para o item (b) usamos a fórmula do cosseno entre dois vetores \vec a e \vec b:
\cos\theta = \frac{\vec a\cdot\vec b}{\|\vec a\|\,\|\vec b\|}.
Aqui queremos \theta=\angle(\vec u+\vec v,\,-\vec v).

Passo 4

Calcule \vec u\cdot\vec v com \|\vec u\|=1, \|\vec v\|=\sqrt{2} e \angle(\vec u,\vec v)=45^\circ:
\vec u\cdot\vec v =1\cdot\sqrt{2}\cdot\cos45^\circ =\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =1.

Passo 5

Calcule (\vec u+\vec v)\cdot(-\vec v):
(\vec u+\vec v)\cdot(-\vec v) =-\,\vec u\cdot\vec v - \vec v\cdot\vec v =-(1 + \|\vec v\|^{2}) =-(1+2) =-3.

Passo 6

As normas são
\|\vec u+\vec v\|^{2} =1 + 2\cdot1 + 2 =5 \quad\Rightarrow\quad \|\vec u+\vec v\|=\sqrt{5},
e \|-\vec v\|=\|\vec v\|=\sqrt{2}.

Passo 7

Agora apliquemos a fórmula do cosseno:
\cos\varphi =\frac{(\vec u+\vec v)\cdot(-\vec v)}{\|\vec u+\vec v\|\;\|-\vec v\|} =\frac{-3}{\sqrt{5}\,\sqrt{2}} =-\frac{3}{\sqrt{10}}.
Logo
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\bigr) \approx 161{,}6^\circ.

Resposta

a) \|\vec u+\vec v\|^{2}=\|\vec u\|^{2}+2(\vec u\cdot\vec v)+\|\vec v\|^{2}.
b) \displaystyle \angle(\vec u+\vec v,\,-\vec v)=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\bigr)\approx 161{,}6^\circ.

Exercícios relacionados