Considere o sistema seguinte de incógnitas x e y. Suponha que D=a d-b c neq 0. Mostre que cada sistema tem a solução única
la x+b y=1 c x+d y=0

Passo 1

O sistema é
a x + b y = 1, c x + d y = 0,
com o determinante
D = a d - b c neq 0
Isso significa que as retas representadas pelas equações não são paralelas, logo há solução única.

Passo 2

Para eliminar y e encontrar x, multiplica-se a primeira equação por d e a segunda por b, depois subtrai-se:
d,(a x + b y) ;-; b,(c x + d y) = dcdot1 ;-; bcdot0
No lado esquerdo aparece
(a d - b c),x = D,x,
e no direito sobra d. Assim
D,x = d Longrightarrow x = dD

Passo 3

Para eliminar x e encontrar y, multiplica-se a segunda equação por a e a primeira por c, depois subtrai-se:
a,(c x + d y) ;-; c,(a x + b y) = acdot0 ;-; ccdot1
No lado esquerdo obtém-se
(a d - b c),y = D,y,
e no direito -c. Logo
D,y = -c Longrightarrow y = -cD

Passo 4

Como Dneq 0, as fórmulas para x e y são válidas e determinam a única solução do sistema.

Resposta

x = da d - b c, y = -ca d - b c

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