Considere os sistemas seguintes nas incógnitas x e y.
(a) c x - a y = 1 a x - 4 y = b ( b ) c a x+3 y=2 12 x+a y=b
Para quais valores de a o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores (a, b) o sistema tem mais do que uma solução?

Passo 1

O enunciado traz dois sistemas lineares tem solução única se o determinante da matriz dos coeficientes
for não nulo; se precisamos verificar consistência para ter infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 2

Analisando o sistema (a)
x - a,y = 1, a,x - 4,y = b,
os coeficientes formam a matriz
1 & -a a & -4
e seu determinante é
D = 1 & -a a & -4 =1cdot(-4)-(-a)cdot a =a^2-4
Logo, há solução única se Dneq0, ou seja, se
a^2-4neq0Long<=ftrightarrow aneq2,;aneq-2

Passo 3

Quando [a^2-4=0), isto é ou , o sistema fica singular. Vamos ver cada caso:
Para , o sistema passa a ser
Da primeira equação vem para consistência. Se , há infinidade de soluções (por exemplo livre e ); se , não há solução.

Passo 4

Para
Da primeira equação . Se , há infinitas soluções; se , não há nenhuma.

Passo 5

Agora o sistema (b)
a,x + 3y = 2, 12x + a,y = b,
tem matriz de coeficientes
a & 3 12 & a
e determinante
D' = a & 312 & a =a^2-36
Assim há solução única se a^2-36neq0, ou seja aneq6 e aneq-6.

Passo 6

Quando [a^2-36=0), ou seja ou , o sistema (b) é singular. Vamos aos casos:
Para ,
Da primeira equação vezes isso dá . Logo é preciso . Se , infinitas soluções; se , nenhuma.

Passo 7

Para
Da primeira equação vem . Logo precisa . Se , infinitas soluções; caso contrário, nenhuma.

Resposta

(a) Solução única se aneq2 e aneq-2. Infinitas soluções exatamente quando (a,b)=(2,2) ou (a,b)=(-2,-2).
(b) Solução única se aneq6 e aneq-6. Infinitas soluções exatamente quando (a,b)=(6,4) ou (a,b)=(-6,-4).

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