Considere os sistemas seguintes nas incógnitas
e
.
Para quais valores de
a o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores
(a, b) o sistema tem mais do que uma solução?
Passo 1
O enunciado traz dois sistemas lineares tem solução única se o determinante da matriz dos coeficientes
for não nulo; se
precisamos verificar consistência para ter infinitas soluções ou nenhuma.
Passo 2
Analisando o sistema (a)
os coeficientes formam a matriz
e seu determinante é
Logo, há solução única se
Dneq0 , ou seja, se
Passo 3
Quando [a^2-4=0), isto é
ou
, o sistema fica singular. Vamos ver cada caso:
Para
, o sistema passa a ser
Da primeira equação vem para consistência. Se
, há infinidade de soluções (por exemplo
livre e
); se
, não há solução.
Passo 4
Para
Da primeira equação . Se
, há infinitas soluções; se
, não há nenhuma.
Passo 5
Agora o sistema (b)
tem matriz de coeficientes
e determinante
Assim há solução única se
a^2-36neq0 , ou seja
aneq6 e
aneq-6 .
Passo 6
Quando [a^2-36=0), ou seja
ou
, o sistema (b) é singular. Vamos aos casos:
Para
,
Da primeira equação vezes isso dá
. Logo é preciso
. Se
, infinitas soluções; se
, nenhuma.
Passo 7
Para
Da primeira equação vem
. Logo precisa
. Se
, infinitas soluções; caso contrário, nenhuma.
Resposta
(a) Solução única se
aneq2 e
aneq-2 . Infinitas soluções exatamente quando
(a,b)=(2,2) ou
(a,b)=(-2,-2) .
(b) Solução única se
aneq6 e
aneq-6 . Infinitas soluções exatamente quando
(a,b)=(6,4) ou
(a,b)=(-6,-4) .