Considere o sistema
l x+2 y-z=3 2 x-y+3 z=7 -x+y+2 z=4
Utilize o método da matriz inversa para determinar a solução do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da matriz inversa. Estamos trabalhando com álgebra linear aqui. Para isso, precisamos montar a matriz dos coeficientes, encontrar a sua inversa e multiplicar essa inversa pelo vetor dos resultados para descobrir os valores de x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações na forma de matriz A vezes vetor x igual ao vetor b :
A cdot x = b
Onde:
A = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 3 -1 & 1 & 2 , x = x y z , b = 3 7 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz inversa de A , que é A^-1 . A fórmula para encontrar a matriz inversa é:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Primeiro, precisamos calcular o determinante de A , det(A) .
Calculando det(A) :
det(A) = 1 cdot -1 & 3 1 & 2 - 2 cdot 2 & 3 -1 & 2 -1 cdot 2 & -1 -1 & 1
= 1 cdot (-1 cdot 2 - 3 cdot 1) - 2 cdot (2 cdot 2 - 3 cdot (-1)) -1 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot (-1))
= 1 cdot (-2 -3) - 2 cdot (4 +3) -1 cdot (2 -1)
= -5 - 14 -1 = -20
Então,
A^-1 = 1-20 cdot Adj(A)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a matriz adjunta de A , Adj(A) . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Calculando os cofatores de cada elemento de A :
  1. Cofator C11 = (-1)^1+1 cdot -1 & 3 1 & 2 = 1 cdot (-2 -3) = -5
  2. Cofator C12 = (-1)^1+2 cdot 2 & 3 -1 & 2 = -1 cdot (4 +3) = -7
  3. Cofator C13 = (-1)^1+3 cdot 2 & -1 -1 & 1 = 1 cdot (2 -1) = 1
  4. Cofator C21 = (-1)^2+1 cdot 2 & -1 1 & 2 = -1 cdot (4 +1) = -5
  5. Cofator C22 = (-1)^2+2 cdot 1 & -1 -1 & 2 = 1 cdot (2 -1) = 1
  6. Cofator C23 = (-1)^2+3 cdot 1 & 2 -1 & 1 = -1 cdot (1 +2) = -3
  7. Cofator C31 = (-1)^3+1 cdot 2 & -1 -1 & 3 = 1 cdot (6 -1) = 5
  8. Cofator C32 = (-1)^3+2 cdot 1 & -1 2 & 3 = -1 cdot (3 +2) = -5
  9. Cofator C33 = (-1)^3+3 cdot 1 & 2 2 & -1 = 1 cdot (-1 -4) = -5
Então, a matriz dos cofatores é:
Cof(A) = -5 & -7 & 1 -5 & 1 & -3 5 & -5 & -5
A transposta dessa matriz é a adjunta:
Adj(A) = -5 & -5 & 5 -7 & 1 & -5 1 & -3 & -5
Agora, podemos encontrar A^-1 :
A^-1 = 1-20 cdot -5 & -5 & 5 -7 & 1 & -5 1 & -3 & -5 = 520 & 520 & -520 720 & -120 & 520 -120 & 320 & 520 = 0.25 & 0.25 & -0.25 0.35 & -0.05 & 0.25 -0.05 & 0.15 & 0.25

Passo 5

Agora que temos A^-1 , vamos multiplicá-la pelo vetor b para encontrar x :
x = A^-1 cdot b = 0.25 & 0.25 & -0.25 0.35 & -0.05 & 0.25 -0.05 & 0.15 & 0.25 cdot 3 7 4
Calculando cada componente:
  1. x = 0.25 cdot 3 + 0.25 cdot 7 + (-0.25) cdot 4 = 0.75 + 1.75 -1 = 1.5
  2. y = 0.35 cdot 3 + (-0.05) cdot 7 + 0.25 cdot 4 = 1.05 -0.35 +1 = 1.7
  3. z = (-0.05) cdot 3 + 0.15 cdot 7 + 0.25 cdot 4 = -0.15 +1.05 +1 = 1.9

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1.5, y = 1.7, z = 1.9

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