Mostre que é nilpotente, ou seja, encontre o menor número natural tal que .
Seja
Passo 1
Beleza, temos um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que a matriz F é nilpotente. Isso significa que existe um número natural k tal que F^k = 0 . Vamos precisar entender o que é uma matriz nilpotente e calcular as potências de F até encontrarmos o menor k que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz F é chamada de nilpotente se, ao elevarmos ela a alguma potência k , o resultado for a matriz zero. Ou seja, existe um número inteiro k tal que:
F^k = 0
Nosso objetivo é encontrar o menor k possível que faça isso acontecer para a matriz dada.
Passo 3
Vamos começar calculando F^2 , ou seja, multiplicar a matriz F por ela mesma:
F = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Multiplicando F por F :
F^2 = F times F = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 times 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 times 0 + 1 times 0 + 0 times 0 & 0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 0 & 0 times 0 + 1 times 1 + 0 times 0 0 times 0 + 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 0 times 0 + 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 1 + 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 0 + 0 times 1 + 0 times 0 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Então, F^2 não é a matriz zero, ainda temos um elemento diferente de zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular F^3 , multiplicando F^2 por F :
F^3 = F^2 times F = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 times 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 times 0 + 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Dessa forma, F^3 é a matriz zero.
Resposta
O menor número natural k que satisfaz F^k = 0 é k = 3 .