Utilize o método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa da matriz
Verifique que DD^-1=I por meio de multiplicação matricial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz D usando o método de Gauss-Jordan e depois verificar se D vezes sua inversa dá a matriz identidade I . Para isso, vamos precisar entender como funciona a inversão de matrizes e o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares transformando uma matriz em sua forma reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz D e anexar a ela a matriz identidade I do mesmo tamanho. A matriz D é:
D = 1 & 2 3 & 4
E a matriz identidade I é:
I = 1 & 0 0 & 1
Vamos formar uma matriz aumentada [D | I] :
(cc|cc 1 & 2 & 1 & 0 3 & 4 & 0 & 1 )
Passo 3
O objetivo do método de Gauss-Jordan é transformar a parte da esquerda dessa matriz aumentada na matriz identidade, fazendo operações nas linhas. As mesmas operações aplicaremos à parte da direita, que eventualmente se tornará a inversa de D .
Primeiro, vamos garantir que o elemento (1,1) seja 1, o que já está certo. Agora, queremos zerar o elemento abaixo dele, que é 3. Para isso, fazemos a seguinte operação:
Linha 2 = Linha 2 - 3 times Linha 1
Aplicando:
(cc|cc 1 & 2 & 1 & 0 0 & -2 & -3 & 1 )
Passo 4
Agora, vamos focar no elemento (2,2) . Queremos que ele seja 1, então dividimos a segunda linha por -2:
Linha 2 = Linha 2-2
Ficamos com:
(cc|cc 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 32 & -12 )
Passo 5
Agora, vamos zerar o elemento acima de (2,2) , que é 2. Para isso, fazemos:
Linha 1 = Linha 1 - 2 times Linha 2
Aplicando:
(cc|cc 1 & 0 & -2 & 1 0 & 1 & 32 & -12 )
Passo 6
Agora que a parte da esquerda é a matriz identidade, a parte da direita é a inversa de D . Então, temos:
D^-1 = -2 & 1 32 & -12
Passo 7
Por fim, vamos verificar se D times D^-1 = I . Fazendo a multiplicação:
D times D^-1 = 1 & 2 3 & 4 times -2 & 1 32 & -12 = 1 times (-2) + 2 times 32 & 1 times 1 + 2 times (-12) 3 times (-2) + 4 times 32 & 3 times 1 + 4 times (-12)