Demonstre que é invertível e determine , justificando se a propriedade é válida neste caso.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a matriz E é invertível e descobrir qual é a sua inversa E^-1 . Além disso, precisamos justificar se a propriedade E^-1 = E^T (onde E^T é a matriz transposta de E ) vale nesse caso. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível, como calcular a inversa de uma matriz 2x2 e como funciona a transposta de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz E é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante de uma matriz 2x2 a & b c & d é calculado por det(E) = ad - bc .
Para a matriz dada:
E = 0 & 1 -1 & 0
calculamos o determinante:
det(E) = (0)(0) - (1)(-1) = 0 + 1 = 1
Como det(E) = 1 neq 0 , isso significa que E é invertível.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inversa de E , ou seja, E^-1 . Para uma matriz 2x2 invertível, a fórmula para a inversa é:
E^-1 = 1det(E) d & -b -c & a
Usando os valores de E :
E^-1 = 11 0 & -1 1 & 0 = 0 & -1 1 & 0
Passo 4
Por último, vamos verificar se E^-1 = E^T . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Calculando a transposta de E :
E^T = 0 & -1 1 & 0
Comparando com a inversa que encontramos:
E^-1 = 0 & -1 1 & 0
Vemos que E^-1 = E^T , então a propriedade é válida nesse caso.
Resposta
A matriz E é invertível e a sua inversa é igual à sua transposta, ou seja: