(a) Encontre uma solução do sistema com x3=6 e x4=2. Existem outras?
(b) Encontre uma solução do sistema com x1=-17 e x2=14. Existem outras? Quantas?
Passo 1
Temos um sistema linear de 3 equações e 4 incógnitas, ou seja, é subdeterminado. O conteúdo aqui envolve resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e parametrização de soluções com variáveis livres. Vamos precisar encontrar a solução geral em função de duas variáveis livres e depois responder às partes (a) e (b).
Passo 2
Aplicando eliminação de Gauss, subtraímos a primeira linha das outras duas:
Observamos que a terceira equação é 5 vezes a segunda, então o posto da matriz é 2. Introduzimos as variáveis livres x3 = s e x4 = t. Da segunda equação temos
-x2 + x3 -2x4 = -4 implies x2 = x3 -2x4 +4 = s -2t +4,
e, usando a primeira equação, x1 + 2x2 + x4 =7 implies x1 = 7 -2x2 - x4 = 7 -2(s-2t+4) - t = -1 -2s +3t
Portanto, a solução geral é
x1 = -1 -2s +3t, x2 = 4 + s -2t, x3 = s, x4 = t
Passo 3
(a) Para x3 = 6 e x4 = 2 (ou seja, s=6, t=2), obtemos
x1 = -1 -2cdot6 +3cdot2 = -7, x2 = 4 +6 -2cdot2 = 6
Então uma solução é (x1,x2,x3,x4)=(-7,6,6,2). Como fixamos ambas as variáveis livres, não há outra solução com esses valores de x3 e x4.
Passo 4
(b) Agora impomos x1 = -17 e x2 = 14. Igualando à forma geral,
-1 -2s +3t = -17 e 4 + s -2t = 14
Isso gera o sistema -2s +3t = -16, s -2t = 10
Da segunda equação vem s = 10 +2t. Substituindo na primeira:
-2(10+2t) +3t = -16 implies -20 -4t +3t = -16 implies t = -4,
logo s = 10 +2(-4) = 2. Assim x3 = 2 e x4 = -4, e a única solução é (-17,14,2,-4). Como resolvemos completamente para s,t, não há outras soluções com esses x1,x2.
Resposta
(a) (x1,x2,x3,x4)=(-7,6,6,2), única solução para x3=6, x4=2.
(b) (x1,x2,x3,x4)=(-17,14,2,-4), única solução para x1=-17, x2=14.