Suponha que
seja um grupo e que
3. Mostre que
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um grupo
com
e precisamos mostrar que para todo
vale
. O conteúdo é Teoria de Grupos finitos e vamos usar o Teorema de Lagrange, que relaciona a ordem de um elemento com a ordem do grupo.
Passo 2
Pela definição, a ordem de um elemento
, denotada
, é o menor
tal que
. O Teorema de Lagrange afirma que
divide
. Aqui
, que é primo, então as únicas divisões possíveis são
e
.
Passo 3
Para um
, ou
ou
. Se
então
e claramente
. Se
então por definição
. Assim, em qualquer caso temos
, ou seja,
.
Resposta
Para todo
vale
.