Suponha que G seja um grupo e que |G|= 3. Mostre que g * g * g=e para todo g in G.

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo G com |G|=3 e precisamos mostrar que para todo gin G vale g*g*g=e. O conteúdo é Teoria de Grupos finitos e vamos usar o Teorema de Lagrange, que relaciona a ordem de um elemento com a ordem do grupo.

Passo 2

Pela definição, a ordem de um elemento gin G, denotada ord(g), é o menor n>0 tal que g^n=e. O Teorema de Lagrange afirma que ord(g) divide |G|. Aqui |G|=3, que é primo, então as únicas divisões possíveis são 1 e 3.

Passo 3

Para um gin G, ou ord(g)=1 ou ord(g)=3. Se ord(g)=1 então g=e e claramente g^3=e^3=e. Se ord(g)=3 então por definição g^3=e. Assim, em qualquer caso temos g^3=e, ou seja, g*g*g=e.

Resposta

Para todo gin G vale g*g*g=e.

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