a. Provar que A é inversivel.
b. Calcular a inversa de A.
c. A é uma matriz ortogonal ?
d. Calcular os autovalores e autovetores da matriz A.
e. A é diagonalizavel ?
Passo 1
O enunciado dá a matriz A de ordem 3 e pede: mostrar que A é invertível, calcular A⁻¹, verificar se A é ortogonal, achar autovalores e autovetores, e decidir se A é diagonalizável. Vamos usar conceitos de determinante, adjunta, ortogonalidade (AᵀA=I), polinômio característico e bases de autovetores.
Passo 2
Para provar que A é invertível, calculamos seu determinante. Usando a regra de Sarrus ou expansão de Laplace, obtemos
det(A)=1cdot(3cdot2-2cdot1)-(-1)cdot(2cdot2-2cdot1)+0=4+2=6neq0
Como det(A)neq0, concluímos que A é invertível.
Passo 3
Para calcular A⁻¹, vamos usar a matriz dos cofatores e a adjunta. Os cofatores formam
C=4 & -2 & -1 2 & 2 & -2 -2 & -2 & 5
A adjunta é C^T e, como det(A)=6,
A^-1=16,C^T =164 & 2 & -2 -2 & 2 & -2 -1 & -2 & 5
Passo 4
Para ver se A é ortogonal, checamos se A^-1=A^T. Comparando as duas matrizes, percebemos que os elementos não coincidem. Portanto, A não é ortogonal.
Passo 5
Para achar os autovalores, formamos o polinômio característico
p(\lambda)=-(\lambda3-6\lambda2+11\lambda-6)=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda),$$
então os autovalores são p(lambda)=-(lambda^3-6lambda^2+11lambda-6)=(1-lambda)(2-lambda)(3-lambda),, lambda1=1 e lambda2=2.
Passo 6
Para cada autovalor lambda, resolvemos (A-lambda I)x=0:
• Para lambda=1: x2=0 e x1=-x3, gerando autovetor ([-1,0,1]^T$.
• Para Para : : , , , gerando ([-2,2,1]^T$.
• Para , >=rando ([-2,2,1]^T: lambda=3, x2=-2x1, gerando x3=-x1.
Passo 7
Como temos três autovalores distintos e, para cada um, encontramos um autovetor não nulo linearmente independente, concluímos que A possui três autovetores independentes. Logo, A é diagonalizável.
$$
c. A não é ortogonal (A^-1neq A^T).
d. Autovalores: 1,2,3. Autovetores correspondentes (cada coluna): [-1,0,1]^T,;[-2,2,1]^T,;[1,-2,-1]^T.
e. Sim, A é diagonalizável (possui 3 autovetores independentes).