Suponha que G seja um grupo e que |G|= 2. Mostre que g * g=e para todo g in G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em um grupo finito de ordem 2 qualquer elemento se comporta como o seu próprio inverso, ou seja, g*g = e. O conteúdo envolve conceitos básicos de teoria de grupos: ordem de um grupo, elemento neutro, fechamento e a lei de cancelamento.

Passo 2

Em primeiro lugar, note que em qualquer grupo (G,*) existe um elemento neutro e um inverso para cada elemento. Se g = e (o neutro), então trivialmente g * g = e * e = e.

Passo 3

Agora, escolha um elemento g ≠ e em G. Como |G| = 2, o conjunto G só pode ser {e, g}.

Passo 4

Pela propriedade de fechamento, o produto g * g está em G. Logo g * g só pode ser ou e ou g.

Passo 5

Se assumíssemos g * g = g, aplicaríamos a lei de cancelamento à esquerda (ou seja, existe inverso de g): multiplicando ambos os lados à esquerda por g⁻¹ teríamos e = g⁻¹ * g = g⁻¹ * (g * g) = (g⁻¹ * g) * g = e * g = g, o que contradiz g ≠ e.

Passo 6

Portanto, a única possibilidade coerente é g * g = e para todo g em G.

Resposta

Em um grupo de ordem 2, qualquer elemento ao ser multiplicado por si mesmo resulta no elemento neutro: g * g = e.

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