Questão 2

Seja B1 a base de R^2 definida por B1=(1,2),(1,-1).
a. Calcular a matriz de passagem P da base canonica para a base B1.
b. Seja v=(2,3). Achar as coordenadas de v na base B1 ?
c. Seja T: R^2 R^2, tal que T(x, y)=(x+y, x-y). Achar [T] e usar a formula de mudança de base para achar a matriz [T]B1^B1.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com mudança de base em R^2, calcular a matriz de passagem da base canônica para B1=(1,2),(1,-1), encontrar as coordenadas de v=(2,3) nessa base e, finalmente, achar a matriz de T(x,y)=(x+y,x-y) na base B1. Vamos usar teoria de matrizes de passagem, inversão de matrizes 2times2 e a relação [T]B = P,[T]can,P^-1.

Passo 2

Primeiro montamos a matriz cujas colunas são os vetores de B1:
B=1&12&-1
A matriz de passagem P que leva coordenadas canônicas [v]can em coordenadas em B1 é B^-1. Como
det(B)=1cdot(-1)-1cdot2=-3,
temos
P=B^-1=1-3-1&-1-2&1=131&12&-1

Passo 3

Para achar as coordenadas de v=(2,3) na base B1, calculamos
[v]B1=P,[v]can=131&12&-123 =132+34-3 =5/31/3

Passo 4

A matriz de T na base canônica é
[T]can=1&11&-1
Para obter [T]B1^B1, usamos
[T]B1=P,[T]can,P^-1
Já temos P e P^-1=B. Primeiro computamos
A B=1&11&-11&12&-1 =3&0-1&2
e em seguida
[T]B1=P,(A B)=131&12&-13&0-1&2 =132&27&-2 =2/3&2/37/3&-2/3

Resposta

P=\tfrac{1}{3} 1&12&-1,\quad[v]_{\mathcal{B}1}= 5/31/3,\quad[T]{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_1}= 2/3&2/37/3&-2/3

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