Seja V=R^3 o espaço vetorial com as operações usuais e U=(x, y, 0) in R^3: x, y in R , W=(0,0, z) in R^3: z in R, T=(0, w, z) in R^3: w, z in R subespaços de V=R^3 :
V=R^3=U oplus W ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço vetorial V = R^3 e três subespaços: U, W e T. A pergunta é: será que V é a soma direta de U e W, ou seja, V = U oplus W? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é soma direta e verificar duas coisas: se todo vetor em V pode ser escrito como a soma de um vetor de U e um vetor de W, e se a interseção entre U e W é apenas o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que V = U oplus W. Isso quer dizer que cada vetor em V pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor em U e outro em W. Para isso, precisamos que a soma U + W seja igual a V e que a interseção U cap W seja somente o vetor zero.

Passo 3

Vamos começar verificando se U + W = V. A soma U + W é formada por todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W. Um vetor geral de U é (x, y, 0) e de W é (0, 0, z). Então, a soma deles é:
(x, y, 0) + (0, 0, z) = (x, y, z)
Isso mostra que qualquer vetor em R^3 pode ser formado dessa maneira, ou seja, U + W = V.

Passo 4

Agora, vamos verificar a interseção U cap W. Um vetor que pertence a ambos os subespaços deve satisfazer as condições de estar em U e em W. Ou seja, deve ser da forma (x, y, 0) e também da forma (0, 0, z). Isso só é possível se x = 0, y = 0 e z = 0, ou seja, o vetor é (0, 0, 0).

Passo 5

Como vimos, U + W = V e U cap W = (0, 0, 0). Isso significa que V é a soma direta de U e W.

Resposta

Sim, V = R^3 é a soma direta de U e W, ou seja, V = U oplus W.

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