Seja
o espaço vetorial com as operações usuais e
,
subespaços de
:
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço vetorial
e três subespaços:
,
e
. A pergunta é: será que
é a soma direta de
e
, ou seja,
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é soma direta e verificar duas coisas: se todo vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
, e se a interseção entre
e
é apenas o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
. Isso quer dizer que cada vetor em
pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor em
e outro em
. Para isso, precisamos que a soma
seja igual a
e que a interseção
seja somente o vetor zero.
Passo 3
Vamos começar verificando se
. A soma
é formada por todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Um vetor geral de
é
e de
é
. Então, a soma deles é:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser formado dessa maneira, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a interseção
. Um vetor que pertence a ambos os subespaços deve satisfazer as condições de estar em
e em
. Ou seja, deve ser da forma
e também da forma
. Isso só é possível se
,
e
, ou seja, o vetor é
.
Passo 5
Como vimos,
e
. Isso significa que
é a soma direta de
e
.
Resposta
Sim,
é a soma direta de
e
, ou seja,
.