Considere os sistemas seguinteq nas incógnitas e .
Para quais valores de a o sistems dado tem solução única e para quais pares de valores (a, b) o sistema tem mais do que uma solução? O valor de b não influi no sitema ter, ou não solução única. Por quê?
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas
Queremos saber para quais ele tem mais de uma solução.
Conteúdo: determinante de matriz de coeficientes e Teorema de Rouché–Capelli.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & a 1 & a & 1 a & 1 & 1
e calculamos seu determinante:
det(A) = 1 & 1 & a 1 & a & 1 a & 1 & 1 =-(a-1)^2(a+2)
Passo 3
Pelo Teorema de Rouché–Capelli, se det(A)neq0 o sistema é invertível e tem solução única.
Como det(A)neq0 exatamente quando aneq1 e aneq-2, concluímos:
o sistema tem solução única para aneq1,;-2 çãú
Observe que isso independe de b: basta det(A)neq0.
Passo 4
Se a=1, então det(A)=0 e as duas primeiras equações viram
x+y+z=1, x+y+z=4,
que são contraditórias independentemente de b. Logo não há solução para todo b.
Passo 5
Se a=-2, então det(A)=0 e as três equações têm LHS com posto 2. Verifica-se que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras se, e só se,
b = -1cdot1 + (-1)cdot4 = -5
Nesse caso o posto da matriz aumentada continua 2 e há infinitas soluções. Se bneq-5, o posto da aumentada seria 3 e o sistema ficaria sem solução.
Resposta
Solução única para aneq1,-2.
Infinitas soluções apenas para (a,b)=(-2,-5).
O valor de b não afeta a existência de solução única porque isso depende só de det(A)neq0.