Questão 2
Mostre que se v é ortogonal a cada v1, cdots, vn, então v é ortogonal a qualquer combinação linear alpha1 v1+cdots+alphan vn.

Passo 1

O enunciado diz que temos um vetor vec v que satisfaz
vec v cdot vec vi = 0
para cada i=1,dots,n. Queremos mostrar que então
vec v é ortogonal a qualquer combinação linear
alpha1vec v1+cdots+alphanvec vn.
Os conteúdos envolvidos são definição de combinação linear e a propriedade bilinear (distributiva) do produto escalar.

Passo 2

Seja
vec w = alpha1vec v1 + alpha2vec v2 + cdots + alphanvec vn
uma combinação linear arbitrária dos vetores vec v1,dots,vec vn.
Pelo axioma de bilinearidade do produto escalar, temos
vec v cdot (vec a + vec b) = vec v cdot vec a + vec v cdot vec b,
e
vec v cdot (c,vec a) = c,(vec v cdot vec a),
para quaisquer vetores vec a,vec b e escalar c.

Passo 3

Aplicando essas propriedades ao produto
vec v cdot vec w, obtemos
vec v cdot l(sumi=1^n alphai vec vir) = sumi=1^n vec v cdot (alphai vec vi) = sumi=1^n alphai,(vec v cdot vec vi)

Passo 4

Como por hipótese vec v cdot vec vi=0 para todo i, cada termo
alphai,(vec v cdot vec vi) é zero. Logo
vec v cdot l(sumi=1^n alphai vec vir) = sumi=1^n alphaicdot 0 = 0,
o que mostra que vec v é ortogonal à combinação linear dada.

Resposta

vec v é ortogonal a alpha1vec v1+cdots+alphanvec vn, pois
vec v cdot l(sumi=1^n alphai vec vir) = 0

Exercícios relacionados