Considere os sistemas seguintes nas incógnitas x, y e z.
& x+y+a z=1 & x+a y+z=4 & a x+y+z=b
Para quais valores de a o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores (a, b) o sistema tem mais do que uma solução?
a neq 1 e a neq-2(-2,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações com três incógnitas: x, y e z. As equações são:
& x + y + a z = 1 & x + a y + z = 4 & a x + y + z = b
O objetivo é descobrir para quais valores de a o sistema tem uma solução única e para quais pares (a, b) ele tem mais de uma solução. Vamos precisar usar um pouco de Álgebra Linear, especificamente o conceito de determinante para sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão multiplicando as incógnitas nas equações:
A = 1 & 1 & a 1 & a & 1 a & 1 & 1
Também vamos montar o vetor dos termos constantes:
b = 1 4 b

Passo 3

Agora, para saber se o sistema tem uma solução única, precisamos calcular o determinante da matriz A. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. A fórmula do determinante para uma matriz 3x3 é:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando os valores da matriz A:
det(A) = 1(a cdot 1 - 1 cdot 1) - 1(1 cdot 1 - 1 cdot a) + a(1 cdot 1 - a cdot a)
det(A) = 1(a - 1) - 1(1 - a) + a(1 - a^2)
det(A) = a - 1 - 1 + a + a - a^3
det(A) = 3a - 2 - a^3
det(A) = -a^3 + 3a - 2

Passo 4

Vamos resolver det(A) = 0:
-a^3 + 3a - 2 = 0 Rightarrow a^3 - 3a + 2 = 0
Para resolver essa equação cúbica, podemos tentar encontrar raízes racionais. Testando a = 1:
1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Então, a = 1 é uma raiz. Podemos fatorar a equação:
(a - 1)(a^2 + a - 2) = 0
Agora, resolvemos a^2 + a - 2 = 0:
a = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Assim, as soluções são:
a = 1 ou a = -2

Passo 5

Então, o determinante é zero quando a = 1 ou a = -2. Isso significa que:
  • Quando a neq 1 e a neq -2: O determinante é diferente de zero, então o sistema tem solução única.
  • Quando a = 1 ou a = -2: O determinante é zero, o que pode significar que o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo do valor de b.
Para ter mais de uma solução, precisamos que o sistema seja compatível indeterminado, ou seja, que as equações sejam dependentes. Isso ocorre para certos valores de b.

Resposta

O sistema tem solução única para todo valor de a diferente de 1 e -2, ou seja, quando a neq 1 e a neq -2. Além disso, o sistema possui mais de uma solução para os pares (a, b) onde a = 1 ou a = -2 e b = 5.

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