Determine a função vetorial e equações paramétricas para as superficies
A parte inferior do Hiperboloide de duas folhas com equação -12 x^2-13 y^2+14 z^2=1. Descreva o domínio da função que representa a parte da superficie com z >=-3.

Passo 1

O enunciado dá o hiperboloide de duas folhas de equação
- tfrac12 x^2 ;-;tfrac13 y^2;+;tfrac14 z^2=1
e pede a parametrização da parte inferior (folha com z<0) e ainda descrever o domínio onde essa folha satisfaz z>= -3. Vamos usar como parâmetros as próprias coordenadas x e y.

Passo 2

Isolamos z na equação. Reescrevendo, temos
tfrac14 z^2 ;=;1 ;+;tfrac12 x^2;+;tfrac13 y^2,
ou seja
z^2 ;=;4l(1 + tfrac12 x^2 + tfrac13 y^2r) ;=;4 + 2x^2 + tfrac43y^2
Como queremos a folha inferior, escolhemos
z ;=; -,raiz,4 + 2x^2 + tfrac43y^2,

Passo 3

Definimos a parametrização usando (u,v) para (x,y). A função vetorial fica
r(u,v) =llang<= u,;v,;-,raiz,4 + 2u^2 + tfrac43v^2,rrang<=
Em forma de equações paramétricas:
x(u,v)=u, y(u,v)=v, z(u,v)=-raiz,4 + 2u^2 + tfrac43v^2,

Passo 4

Agora impomos z>= -3. Isso significa
-,raiz,4 + 2u^2 + tfrac43v^2,;>=;-3 Longrightarrow raiz,4 + 2u^2 + tfrac43v^2,;<=;3
Elevando ao quadrado,
4 + 2u^2 + tfrac43v^2 ;<=;9 Longrightarrow 2u^2 + tfrac43v^2 ;<=;5

Passo 5

O domínio em (u,v) é a região elíptica
2u^2 + tfrac43v^2 ;<=;5,
ou equivalentemente
u^2tfrac52 + v^2tfrac154;<=;1

Resposta

Função vetorial:
r(u,v) =llang<= u,;v,;-,raiz,4 + 2u^2 + tfrac43v^2,rrang<=,
com domínio
(u,v)inR^2mid 2u^2 + tfrac43v^2<=5

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