Determine a função vetorial e equações paramétricas para as superficies
A parte inferior do Hiperboloide de duas folhas com equação
. Descreva o domínio da função que representa a parte da superficie com
.
A parte inferior do Hiperboloide de duas folhas com equação
Passo 1
O enunciado dá o hiperboloide de duas folhas de equação
e pede a parametrização da parte inferior (folha com
) e ainda descrever o domínio onde essa folha satisfaz
. Vamos usar como parâmetros as próprias coordenadas
e
.
Passo 2
Isolamos
na equação. Reescrevendo, temos
ou seja
Como queremos a folha inferior, escolhemos
Passo 3
Definimos a parametrização usando
para
. A função vetorial fica
Em forma de equações paramétricas:
Passo 4
Agora impomos
. Isso significa
Elevando ao quadrado,
Passo 5
O domínio em
é a região elíptica
ou equivalentemente
Resposta
Função vetorial:
com domínio