Uma função f(x)=ax+b é tal que f(3)=2 e f(4)=2f(2). Determine f(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função do tipo f(x) = ax + b, que é uma função linear. A questão nos dá duas condições: f(3) = 2 e f(4) = 2f(2). Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b para determinar toda a função f(x).

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição f(3) = 2. Isso significa que quando substituímos x por 3 na função, o resultado deve ser 2. Então, temos:
f(3) = a cdot 3 + b = 2
Ou seja:
3a + b = 2 (Equação 1) çã

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda condição: f(4) = 2f(2). Isso significa que o valor da função em x = 4 é o dobro do valor da função em x = 2. Vamos primeiro expressar f(4) e f(2) usando a função:
f(4) = a cdot 4 + b
f(2) = a cdot 2 + b
De acordo com a condição, temos:
a cdot 4 + b = 2(a cdot 2 + b)

Passo 4

Vamos simplificar a equação que obtivemos:
4a + b = 2(2a + b)
Distribuindo o 2 na direita:
4a + b = 4a + 2b
Agora, vamos subtrair 4a de ambos os lados para eliminar o termo 4a:
b = 2b
Subtraindo b de ambos os lados:
0 = b
Então, descobrimos que b = 0.

Passo 5

Agora que sabemos que b = 0, podemos voltar à Equação 1 para encontrar o valor de a:
3a + 0 = 2
Então:
3a = 2
Dividindo ambos os lados por 3:
a = 23

Resposta

A função é f(x) = 23x.

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