Determine a função vetorial e equações paramétricas para as superficies
O Paraboloide Elíptico invertido z+2 x^2+2 y^2=12. Encontre o dominio que representa a parte superior da superficie (z >= 0).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície implícita
z + 2x^2 + 2y^2 = 12
que é um paraboloide elíptico invertido.
Conteúdo: conversão de forma implícita para forma paramétrica (função vetorial) e determinação do domínio para a parte superior da superfície ( z>= 0).

Passo 2

Isolamos z para escrever a superfície como gráfico de uma função de (x,y).
z = 12 - 2x^2 - 2y^2

Passo 3

Escolhendo parâmetros (u,v) para representar (x,y), podemos definir a função vetorial
r(u,v) = llang<= u,;v,;12 - 2u^2 - 2v^2rrang<=
Isto dá as equações paramétricas
x(u,v) = u, y(u,v) = v, z(u,v) = 12 - 2u^2 - 2v^2

Passo 4

Para ficar com a parte superior da superfície, impomos z>= 0:
12 - 2u^2 - 2v^2 >= 0 Longrightarrow u^2 + v^2 <= 6
Logo, o domínio dos parâmetros é o disco de raio raiz6:
D = l(u,v)mid u^2 + v^2 <= 6r

Resposta

Função vetorial:
r(u,v) = llang<= u,;v,;12 - 2u^2 - 2v^2rrang<=
Equações paramétricas:
x = u, y = v, z = 12 - 2u^2 - 2v^2,
com domínio
D = l(u,v)mid u^2 + v^2 <= 6r,
que corresponde à parte da superfície onde z>= 0.

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