Considere uma situação em que um geólogo quer investigar a quantidade de minério de ferro disponível em um certo corpo de minério. O geólogo toma n=9 amostras, e estima que a quantidade média de minério de ferro no corpo de minério é de \bar{X}=497,5 \mathrm{kt} (kilotoneladas). Sabe-se ainda de pesquisas anteriores que a variabilidade média em torno do valor médio (isto é, o desvio padrão) da quantidade de minério de ferro nos corpos da mesma região é de \sigma=3 \mathrm{kt}.
a. Calcule a estatística de teste Z_{\text {obs }} assumindo um valor de referência para a média populacional de \mu_{0}=500 \mathrm{kt}.
b. Assumindo um nível \alpha=5 \% de significância, teste a hipótese H_{0}: \mu= 500 kt contra H_{1}: \mu \neq 500 \mathrm{kt} e interprete os resultados (Dica: pode utilizar que Z_{1-\alpha / 2}=Z_{0,975}=1,96 \simeq 2,00 ).
c. Calcule o p-valor \hat{\alpha} do teste feito no item anterior. Sua conclusão com respeito à aceitar/rejeitar H_{0} continua a mesma? Comente.
d. Suponha que uma mineradora esteja interessada em operar na região, mas que por questões de rentabilidade mínima, a mesma mineradora aceitaria esse empreendimento apenas se o corpo de minério tivesse no mínimo \mu= 500 kt de minério de ferro. Com base nos da pesquisa do geólogo responsável, você recomendaria o empreendimento para a mineradora? Justifique.

Passo 1

O enunciado descreve um teste de hipótese para a média populacional de uma amostra de tamanho n=9, com desvio padrão populacional conhecido \sigma=3. A amostra forneceu média \bar{X}=497,5. Queremos testar
H_{0}: \mu = 500 \quad\text{versus}\quad H_{1}: \mu \neq 500
usando a estatística Z e nível de significância \alpha=5\%.

Passo 2

A estatística de teste é
Z_{\text{obs}} = \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{497,5 - 500}{3/\sqrt{9}} = \frac{-2,5}{1} = -2,5.

Passo 3

Para \alpha=0{,}05 bilateral, os pontos críticos são
Z_{1-\alpha/2} = Z_{0,975} \approx \pm 1,96.
Como Z_{\text{obs}}=-2,5 está à esquerda de -1,96, caímos na região crítica. Logo, rejeitamos H_{0} ao nível de 5\%.

Passo 4

O p-valor é
\hat{\alpha} = 2\,P\bigl(Z \le -2,5\bigr) \approx 2 \times 0,0062 = 0,0124.
Como \hat{\alpha}\approx0{,}0124<0{,}05, a decisão de rejeitar H_{0} permanece a mesma.

Passo 5

A mineradora exige \mu\ge500. Os resultados indicam que a média real parece ser menor que 500, já que rejeitamos H_{0}: \mu=500 em favor de \mu\neq500 com \bar{X}=497,5. Portanto, não recomendaria o empreendimento, pois a evidência sugere que a quantidade média de minério é inferior a 500 kt.

Resposta

a) Z_{\text{obs}}=-2,5.
b) Região crítica bilateral em \pm1,96; como -2,5<-1,96, rejeitamos H_{0}.
c) p-valor \approx0,0124; mantém-se a rejeição de H_{0}.
d) Não recomendaria o empreendimento, pois há evidência de que \mu<500 kt.

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