Quando Mendel realizou seus famosos experimentos em genética com ervilhas, uma amostra das descendentes consistia em 428 ervilhas verdes e 152 amarelas.
a. Calcule a proporção amostral \hat{p} de ervilhas amarelas.
b. Calcule a estatística de teste Z_{\text {obs }} assumindo um valor de referência para a proporção populacional de p_{0}=0,25.
c. Assumindo um nível \alpha=5 \% de significância, teste a hipótese H_{0}: p= 0,25 contra H_{1}: p \neq 0,25 e interprete os resultados (Dica: pode utilizar que Z_{1-\alpha / 2}=Z_{0,975}=1,96 \simeq 2,00 ).
d. Calcule o p-valor \hat{\alpha} do teste feito no item anterior. Sua conclusão com respeito à aceitar/rejeitar H_{0} continua a mesma? Comente.
e. A hipótese original de Mendel era de que a proporção real p de ervilhas amarelas de amostras de descendentes seria igual à 25 \%. Você diria então que as conclusões do teste realizado nos itens anteriores corroboram a teoria de Mendel? Justifique.

Passo 1

O enunciado traz uma amostra de ervilhas com 428 verdes e 152 amarelas, totalizando n=580. Vamos fazer um teste de proporção em que
H_0\colon p=0,25
H_1\colon p\neq0,25
Precisamos calcular
  1. A proporção amostral \hat p.
  2. A estatística Z_{\mathrm{obs}}.
  3. A decisão do teste a \alpha=5\% (crítico Z_{0,975}=1,96).
  4. O p-valor.
  5. Interpretar se a conclusão corrobora a teoria de Mendel.

Passo 2

Calcular a proporção amostral de ervilhas amarelas:
\hat p = \frac{152}{580} \approx 0,2621.

Passo 3

A estatística de teste é
Z_{\mathrm{obs}} = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0,2621 - 0,25}{\sqrt{\frac{0,25\cdot0,75}{580}}} \approx \frac{0,0121}{0,01798} \approx 0,67.

Passo 4

Para \alpha=0,05 num teste bilateral, os limites são \pm1,96. Como
|Z_{\mathrm{obs}}| = 0,67 < 1,96,
não rejeitamos H_0. Não há evidência significativa contra p=0,25.

Passo 5

O p-valor é
\hat\alpha = 2\bigl[1-\Phi(0,67)\bigr]\approx 2(1-0,75)=0,50.
Como \hat\alpha=0,50>0,05, a conclusão de não rejeitar H_0 permanece.

Passo 6

Falhar em rejeitar H_0 indica que os dados são compatíveis com p=0,25. Logo, as conclusões do teste corroboram a hipótese de Mendel.

Resposta

a. \hat p = 0,2621
b. Z_{\mathrm{obs}} \approx 0,67
c. Não rejeitamos H_0 a 5\%; não há evidência contra p=0,25.
d. p\text{-valor}\approx0,50; mesma conclusão (não rejeitar H_0).
e. Sim, o teste não rejeita p=0,25, o que apoia a teoria de Mendel.

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