Suponha que você tenha uma moeda no bolso, e por alguma razão você queira verificar se essa moeda é realmente “justa/honesta”, isto é, se a probabilidade de que um lançamento resulte em cara e/ou coroa seja realmente igual a p_{0}=0,50. Você lança então a moeda n=400 vezes para cima { }^{1}, e observa a ocorrência de 188 caras.
a. Calcule a proporção amostral \hat{p} de caras.
b. Calcule a estatística de teste Z_{\text {obs }} assumindo um valor de referência para a proporção populacional de p_{0}=0,50.
c. Assumindo um nível de \alpha=5 \% de significância, teste a hipótese de
que a proporção de caras p é igual a 50 \%, isto é, teste H_{0}: p=0,50 contra H_{1}: p \neq 0,50 e interprete os resultados (Dica: pode utilizar que Z_{1-\alpha / 2}= Z_{0,975}=1,96 \simeq 2,00 ).
d. Calcule o p-valor \hat{\alpha} do teste feito no item anterior. Sua conclusão com respeito à aceitar/rejeitar H_{0} continua a mesma? Comente.
e. Com base nos seus resultados, você diria que a moeda é justa, isto é, que a proporção populacional p de caras é estatisticamente igual a p_{0}=0,50 ? Justifique.

  1. { }^{1} Estamos aqui implicitamente assumindo que, como todo bom estudante da graduação, você tenha bastante tempo sobrando e mais nenhuma outra atividade ou matéria te preocupando.

Passo 1

O problema é um teste de hipótese para proporção: queremos verificar se a moeda é “justa” (ou seja, p=0,50) com base em n=400 lançamentos que geraram 188 caras. Precisamos calcular
  • (a) a proporção amostral \hat p,
  • (b) a estatística de teste Z_{\text{obs}},
  • (c) a decisão do teste bilateral a \alpha=5\% usando Z_{0,975}=1,96,
  • (d) o p-valor do teste e verificar se muda a conclusão,
  • (e) a interpretação final sobre a “justiça” da moeda.

Passo 2

Para (a) a proporção amostral é
\hat p = \frac{\text{número de caras}}{n} = \frac{188}{400} = 0{,}47.ú

Passo 3

Para (b) usamos
Z_{\text{obs}} =\frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} =\frac{0{,}47 - 0{,}50}{\sqrt{\frac{0{,}5\cdot0{,}5}{400}}} =\frac{-0{,}03}{0{,}025} =-1{,}20.

Passo 4

Em (c) o teste bilateral a nível \alpha=5\% rejeita H_0 se |Z_{\text{obs}}|>1{,}96. Como
|Z_{\text{obs}}| = 1{,}20 < 1{,}96,
não rejeitamos H_0. Logo, não há evidência estatística para dizer que p\neq0{,}50.

Passo 5

Para (d) o p-valor é
\hat\alpha = 2\,P\bigl(Z < -1{,}20\bigr) \approx 2 \times 0{,}1151 = 0{,}2302.
Como \hat\alpha\approx0{,}23 > 0{,}05, a conclusão continua a mesma: não rejeitamos H_0.

Passo 6

Em (e) concluímos que, ao nível de 5\%, não há evidência de que a proporção de caras difira de 0{,}50. Logo, estatisticamente, a moeda pode ser considerada justa.

Resposta

(a) \hat p = 0{,}47.
(b) Z_{\text{obs}} = -1{,}20.
(c) Critério bilateral com Z_{0,975}=1{,}96: |-1{,}20|<1{,}96, não rejeita H_0.
(d) p-valor \hat\alpha \approx 0{,}23; continua sem rejeitar H_0.
(e) Não há prova de que p\neq0{,}50; a moeda é estatisticamente justa.

Exercícios relacionados