Considere sobre P2(R) o produto interno definido por lang<= p(t), q(t)rang<==integral0^1 p(t) q(t) d t.
(a) Determine o ângulo e a distância entre p(t)=1 e q(t)=1-t.
(b) Sendo U=[1,1-t], determine uma base para U^perp.

Passo 1

O enunciado define em P2(R) o produto interno
lang<= p,qrang<= = integral0^1p(t),q(t),dt
e pede em (a) o ângulo e a distância entre p(t)=1 e q(t)=1-t, e em (b) uma base de
U^perp, U=span1,;1-t
Para isso vamos usar cálculo de integrais para produtos internos, normas e resolver um sistema linear para achar o complementar ortogonal.

Passo 2

Calcular lang<= p,qrang<= e as normas de p e q:
lang<= p,qrang<= = integral0^11cdot(1-t),dt = l[t - tfract^22r]0^1 =1 - tfrac12 = tfrac12
|p|^2 = integral0^11^2,dt = 1, |q|^2 = integral0^1(1-t)^2,dt = integral0^1(1 -2t + t^2),dt = 1 -1 + tfrac13 = tfrac13
Logo
|p| = 1, |q| = raiztfrac13, costheta = lang<= p,qrang<=|p|;|q| = tfrac121cdotraiztfrac13 = raiz32
Portanto
theta = arccos!l(tfracraiz32r) = pi6

Passo 3

A distância entre p e q é
|p-q| = l|,1 - (1-t)r| = |,t|, |t|^2 = integral0^1t^2,dt = tfrac13
logo
|p-q| = raiztfrac13 = 1raiz3

Passo 4

Para achar
A primeira dá
A segunda leva a
Resolvendo o sistema
obtemos . Logo
e é de dimensão 1, por exemplo com a base

Resposta

(a) theta=pi6, d(p,q)=1raiz3
(b) U^perp=span,6t^2-6t+1

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