2.6 EXERCICIOS

  1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas.
2 x-y+3 z= & 11 4 x-3 y+2 z= & 0 x+y+z= & 6 3 x+y+z= & 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá quatro equações com três incógnitas: x , y e z . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares usando matrizes ampliadas. Vamos precisar montar as matrizes ampliadas e fazer algumas operações para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema original. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e os valores das equações:
2 & -1 & 3 & | & 11 4 & -3 & 2 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 6 3 & 1 & 1 & | & 4

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Primeiro, queremos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 para facilitar as contas. Dividimos a primeira linha por 2:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 4 & -3 & 2 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 6 3 & 1 & 1 & | & 4

Passo 4

Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha, 1 vez a primeira linha da terceira linha e 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
Segunda linha: Linha 2 - 4 times Linha 1
Terceira linha: Linha 3 - Linha 1
Quarta linha: Linha 4 - 3 times Linha 1
Após essas operações, a matriz fica assim:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & -1 & -4 & | & -22 0 & 1.5 & -0.5 & | & 0.5 0 & 2.5 & -3.5 & | & -12.5

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha para tornar o próximo passo mais fácil. Multiplicamos a segunda linha por -1 para deixar o coeficiente do y positivo:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 1.5 & -0.5 & | & 0.5 0 & 2.5 & -3.5 & | & -12.5

Passo 6

Vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na segunda coluna. Subtraímos 1.5 vezes a segunda linha da terceira linha e 2.5 vezes a segunda linha da quarta linha:
Terceira linha: Linha 3 - 1.5 times Linha 2
Quarta linha: Linha 4 - 2.5 times Linha 2
A matriz agora fica:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & -6.5 & | & -32 0 & 0 & -14.5 & | & -77.5

Passo 7

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por -6.5 para deixar o coeficiente de z igual a 1:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & 1 & | & 4.923 0 & 0 & -14.5 & | & -77.5

Passo 8

Agora, eliminamos o z da quarta linha adicionando 14.5 vezes a terceira linha à quarta linha:
Quarta linha: Linha 4 + 14.5 times Linha 3
A matriz simplificada fica:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & 1 & | & 4.923 0 & 0 & 0 & | & 40

Passo 9

Observamos que a última linha resulta em 0 = 40 , o que é impossível. Isso significa que o sistema não tem solução. Ou seja, ele é inconsistente.

Resposta

O sistema de equações não possui solução; ele é inconsistente.

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