Considere sobre M2(R) o produto interno definido por lang<= A, Brang<==traço(A B^t)̧.
Sejam C=[cc1 & -1 2 & 1] e D=[cc1 & -1 2 & x]. Determine x para que C e D sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x em
C = 1 & -1 2 & 1 e D = 1 & -1 2 & x
de modo que C e D sejam ortogonais no espaço M2(R) com o produto interno dado por
lang<= A,Brang<= = trl(A,B^ tr)
Para isso, vamos usar que ortogonalidade significa
lang<= C,Drang<= = 0

Passo 2

Primeiro, calculamos D^t e o produto C,D^t. Como
D = 1 & -1 2 & x,
temos
D^t = 1 & 2 -1 & x
Agora
C,D^t = 1 & -1 2 & 1 1 & 2 -1 & x = 1cdot1 + (-1)cdot(-1) & 1cdot2 + (-1)cdot x[6pt] 2cdot1 + 1cdot(-1) & 2cdot2 + 1cdot x = 2 & 2 - x 1 & 4 + x ]

Passo 3

O produto interno é
lang<= C,Drang<= = trl(C,D^ tr)
A traço de 2 & 2 - x 1 & 4 + x é
2 + (4 + x) = 6 + x
Para ortogonalidade, precisamos de
lang<= C,Drang<= = 0 Longrightarrow 6 + x = 0

Passo 4

Resolvendo a equação
6 + x = 0
obtém-se
x = -6

Resposta

x = -6

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