Considere sobre M2(R) o produto interno definido por lang<= A, Brang<==traço(A B^t)̧.
Sejam A=[ll1 & 1 0 & 0] e B=[ll0 & 1 1 & 0]. Determine o ângulo e a distância entre A e B.

Passo 1

O enunciado define em M2(R) o produto interno
lang<= A,Brang<= = trl(A,B^tr),
e pede o ângulo theta e a distância d(A,B)=|A-B| entre
A=1&10&0, B=0&11&0

Passo 2

Calcular lang<= A,Brang<=:
B^t=0&11&0, A,B^t=1cdot0+1cdot1 & 1cdot1+1cdot0 0&0 =1&10&0,
lang<= A,Brang<==tr(A,B^t)=1

Passo 3

Calcular as normas:
lang<= A,Arang<==tr(A,A^t) =tr!l(2&00&0r)=2, lang<= B,Brang<==tr(B,B^t)=2,
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|A|=raiz2 e |B|=raiz2.

Passo 4

Encontrar o ângulo via
costheta=lang<= A,Brang<=|A||B| =1raiz2,raiz2=12,
então
theta=arccosl(tfrac12r)=pi3 (ou 60^circ).

Passo 5

Calcular a distância:
A-B=1&0-1&0, (A-B)(A-B)^t=1&-1-1&1,
|A-B|^2=trl((A-B)(A-B)^tr)=2,
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|A-B|=raiz2.

Resposta

Ângulo: theta=pi3.
Distância: raiz2.

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