Em R^4, considere o subespaço U=[(1,0,2,1),(1,1,0,1)]. Determine uma base para U^perp segundo:
O produto interno dado por lang<=(x1, y1, z1, w1),(x2, y2, z2, w2)rang<==x1 x2+2 y1 y2+3 z1 z2+4 w1 w2.

Passo 1

O enunciado pede a base de U^perp em R^4 com o produto interno dado, onde
U=span(1,0,2,1),,(1,1,0,1)
Usaremos a definição de ortogonalidade: um vetor v está em U^perp se e somente se lang<= ui,vrang<==0 para cada gerador ui de U.

Passo 2

Seja v=(x,y,z,w). As condições de ortogonalidade são:
lang<=(1,0,2,1),vrang<= =1cdot x+2cdot0cdot y+3cdot2cdot z+4cdot1cdot w =x+6z+4w=0,
e
lang<=(1,1,0,1),vrang<= =1cdot x+2cdot1cdot y+3cdot0cdot z+4cdot1cdot w =x+2y+4w=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
x+6z+4w=0, x+2y+4w=0,
subtraindo a segunda da primeira ou isolando variáveis, obtemos
y=3z, x=-6z-4w
Logo
(x,y,z,w) =z,(-6,3,1,0)+w,(-4,0,0,1)

Passo 4

Dessa forma, uma base para U^perp é dada pelos vetores que acompanham os parâmetros z e w, ou seja,
(-6,3,1,0),,(-4,0,0,1)

Resposta

(-6,3,1,0),,(-4,0,0,1)

Exercícios relacionados