Em R^4, considere o subespaço U=[(1,0,2,1),(1,1,0,1)]. Determine uma base para U^perp segundo:
O produto interno usual de R^4.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
U=span(1,0,2,1),(1,1,0,1)
em R^4 com o produto interno usual. Queremos achar uma base de
U^perp=xinR^4mid xcdot u=0;forall,uin U
Para isso, basta resolver o sistema linear que impõe ortogonalidade às duas geradoras de U.

Passo 2

Seja
x=(x1,x2,x3,x4).
As condições xcdot(1,0,2,1)=0 e xcdot(1,1,0,1)=0 geram o sistema
x1 + 2x3 + x4 = 0, x1 + x2 + x4 = 0

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
x2 - 2x3 = 0 Longrightarrow x2 = 2x3
Substituindo em x1 + x2 + x4=0
x1 = -,x2 - x4 = -2x3 - x4
Tomando x3=s e x4=t como parâmetros livres, temos
x = (-2s - t,;2s,;s,;t) = s,(-2,2,1,0) ;+; t,(-1,0,0,1)

Passo 4

Os vetores
b1 = (-2,2,1,0) e b2 = (-1,0,0,1)
são linearly independentes e satisfazem ambas as equações do sistema, logo formam uma base de U^perp.

Resposta

Uma base de U^perp é
,(-2,2,1,0),;(-1,0,0,1)

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