Considere um solenoide infinito de raio R com n voltas por unidade
de comprimento e por onde passa uma corrente I. Uma partícula de massa m e carga q desliza sem atrito em um fio não-condutor circular de raio r(r>R) concêntrico ao solenoide. Considere a partícula inicialmente em repouso (ignore a força gravitacional). Ao diminuir a intensidade da corrente é visto que a partícula começa a se movimentar.
a) Use a Lei de Faraday para calcular a velocidade da partícula após o desaparecimento do campo magnético do solenoide.
b) Utilize a conservação de momento linear para obter o mesmo resultado do item a. [Dica: considere em seu desenvolvimento a definição do momento linear eletromagnético pE M=q A, onde A é o vetor potencial magnético.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um solenoide infinito com raio $ R $, $ n $ voltas por unidade de comprimento e com corrente $ I $ passando por ele. Uma partícula com massa $ m $ e carga $ q $ está deslizando sem atrito em um fio circular de raio $ r $ (onde $ r > R $), que está concentrico ao solenoide. Inicialmente, a partícula está parada, e quando a corrente diminui, ela começa a se mover. A gente vai precisar usar a Lei de Faraday para a parte a) e a conservação do momento linear para a parte b). Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a): Usando a Lei de Faraday para encontrar a velocidade da partícula após o desaparecimento do campo magnético
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Faraday, que nos diz que uma mudança no fluxo magnético PhiB através de um circuito induz uma força eletromotriz (fem) E no circuito:
E = -dPhiBdt
No nosso caso, o solenoide gera um campo magnético $ B $ dentro dele, dado por:
B
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, $ n $ é o número de voltas por unidade de comprimento e $ I $ é a corrente.
A partícula está em um fio circular de raio $ r $, então o fluxo magnético através desse círculo quando $ r > R $ é igual ao fluxo dentro do solenoide:
B = mu0 n I
Quando a corrente $ I $ diminui até zero, o fluxo magnético também diminui. A mudança no fluxo induz uma fem no fio circular, que causa uma força elétrica na partícula, acelerando-a.
A fem induzida é:
mu0
Essa fem gera um campo elétrico $ E $ tangencial ao fio, relacionado pela fem e pelo comprimento do círculo:
n
Então, podemos encontrar $ E $:
I
A força elétrica na partícula é:
r
Essa força acelera a partícula, então a segunda lei de Newton nos dá:
r > R
Vamos integrar essa equação para encontrar a velocidade $ v $ da partícula. Assumindo que a velocidade inicial é zero quando $ I = I_0 $ e $ I $ vai até zero, temos:
PhiB = B cdot pi R^2 = mu0 n I pi R^2
Integrando:
I
Então, a velocidade final da partícula é:
E = -dPhiBdt = -ddt (mu0 n I pi R^2) = -mu0 n pi R^2 dIdt

Passo 3

Parte b): Usando a conservação do momento linear para obter o mesmo resultado
Agora, vamos utilizar a conservação do momento linear. Sabemos que o momento linear eletromagnético é dado por:
pEM = q A
onde $ \vec{A} $ é o vetor potencial magnético. Para um solenoide infinito, o vetor potencial $ \vec{A} $ fora do solenoide (para $ r > R $) é:
A
Quando a corrente $ I $ desaparece, o vetor potencial também vai a zero. A variação do momento eletromagnético da partícula é igual e oposta à variação do momento linear da partícula devido à conservação.
Inicialmente, a partícula está em repouso, então $ \vec{p} = 0 $. Após a variação do campo, o momento eletromagnético muda para:
A
Pela conservação do momento linear total (mecânico + eletromagnético):
r > R
Então, o momento linear da partícula após o movimento é:
A = mu0 n I R^22 r phi
Assim, a velocidade $ v $ é:
I

Resposta

Após o desaparecimento do campo magnético do solenoide, a velocidade da partícula é dada por
v = q mu0 n R^2 I02 m r

Exercícios relacionados