Seja uma carga pontual q localizada na origem. Um campo magnético B(r)=B(x, y) z preenche todo o espaço. Calcule o momento angular deste campo em função do fluxo de campo magnético PhiB através do plano z=0.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma carga pontual $ q $ na origem e um campo magnético $ \vec{B}(\vec{r}) = B(x, y) \hat{\mathbf{z}} $ que preenche todo o espaço. O objetivo é calcular o momento angular desse campo em termos do fluxo magnético $ \Phi_{B} $ que passa pelo plano $ z=0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente sobre momento angular em campos eletromagnéticos e como relacioná-lo com o fluxo magnético.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o momento angular $ \vec{L} $ de um campo eletromagnético é dado pela integral sobre todo o espaço do produto $ \vec{r} \times (\vec{E} \times \vec{B}) $. Matemáticamente, isso é:
L
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

A carga pontual $ q $ na origem gera um campo elétrico $ \vec{E} $ radial. Usando a Lei de Coulomb, temos:
q
onde $ r $ é a distância da origem e $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção radial.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{E} \times \vec{B} $. Com $ \vec{B} = B(x, y) \hat{\mathbf{z}} $, temos:
E times B
Esse cruzamento vai nos dar um vetor na direção tangencial ao plano $ z=0 $.

Passo 5

Substituindo $ \vec{E} \times \vec{B} $ na expressão do momento angular:
E times B
Simplificando, a $ \varepsilon_0 $ cancela e ficamos com:
L = varepsilon0 integral r times ( q4pi varepsilon0 r^2 (r times B(x, y) z) ) dV

Passo 6

Utilizando a identidade vetorial $ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b}) $, aplicamos na expressão:
a times (b times c) = b (a cdot c) - c (a cdot b)
Sabemos que $ \vec{r} \cdot \hat{\mathbf{z}} = z $ e $ \vec{r} \cdot \hat{\mathbf{r}} = r $, então:
r times (r times z) = r (r cdot z) - z (r cdot r)

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
L = q4pi integral ( r z - z r ) B(x, y)r^2 dV
Vamos analisar termo a termo. Observando a simetria do problema, o primeiro termo $ \hat{\mathbf{r}} z $ integrado sobre todo o espaço será simétrico e se cancelará, restando apenas o segundo termo.

Passo 8

Focando no termo restante:
L = -q4pi z integral B(x, y)r dV
Agora, o fluxo magnético $ \Phi_B $ pelo plano $ z=0 $ é definido por:
PhiB
Portanto, a integral $ \int \frac{B(x, y)}{r} dV $ pode ser relacionada ao fluxo magnético $ \Phi_B $ dividido por uma constante que emerge da integração radial.

Passo 9

Assumindo que o campo $ B(x, y) $ é uniforme ou simétrico de forma que a integral sobre $ r $ resulta em uma relação direta com $ \Phi_B $, simplificamos para:
B(x, y)
Note que a constante $ \varepsilon_0 $ pode ser ajustada conforme a definição usada para $ \Phi_B $.

Resposta

O momento angular do campo é dado por $ \vec{L} = -\dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0} \Phi_{B} , \hat{\mathbf{z}} $.

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