Considere o sólido S determinado pelas desigualdades x^2+y^2+(z-1)^2 <= 1 e z >= raizx^2+y^2. Seja f uma função contínua em R^3, é correto afirmar que V=integral0^2 pi integrala^b integral0^2 cos varphi f(rho sin varphi cos theta, rho sin varphi sin theta, rho cos varphi) K(rho, varphi, theta) d rho d varphi d theta, para toda função contínua f, se:
a) a=0, b=pi4 e K(rho, varphi, theta)=rho sin ^2 varphi.
b) a=pi2, b=pi4 e K(rho, varphi, theta)=rho^2 sin varphi.
c) a=0, b=pi4 e K(rho, varphi, theta)=rho^2 sin varphi.
d) a=pi4, b=pi2 e K(rho, varphi, theta)=rho sin ^2 varphi.
e) a=0, b=pi2 e K(rho, varphi, theta)=rho^2 sin varphi.

Passo 1

O sólido S é a interseção da esfera de centro (0,0,1) e raio 1,
x^2+y^2+(z-1)^2<=1,
com a região acima do cone definido por
z>=raizx^2+y^2
Para montar a integral em coordenadas esféricas, vamos usar (rho,varphi,theta) com
;x=rhosinvarphicostheta,; y=rhosinvarphisintheta,; z=rhocosvarphi,
Jacobeano J(rho,varphi,theta)=rho^2sinvarphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, a esfera satisfaz
rho^2sin^2varphi+(rhocosvarphi-1)^2=1
Expandindo:
rho^2-2rhocosvarphi+1=1 Longrightarrow rho(rho-2cosvarphi)=0 Longrightarrow rho=2cosvarphi
Portanto, para cada varphi a coordenada radial varia de 0 até 2cosvarphi.

Passo 3

A condição do cone z>=raizx^2+y^2 em esféricas fica
rhocosvarphi>=rhosinvarphi Longrightarrow cosvarphi>=sinvarphi Longrightarrow varphi<=pi4
Assim, varphi varia de 0 a pi/4 e theta de 0 a 2pi.

Passo 4

Juntando tudo, a integral de f sobre S em coordenadas esféricas é
integraltheta=0^2pi integralvarphi=0^pi/4 integralrho=0^2cosvarphi f(rhosinvarphicostheta,rhosinvarphisintheta,rhocosvarphi); rho^2sinvarphi; drho,dvarphi,dtheta
Logo, o fator K(rho,varphi,theta) é rho^2sinvarphi e os limites em varphi vão de 0 a pi/4.

Resposta

c) a=0,;b=tfracpi4 e K(rho,varphi,theta)=rho^2sinvarphi.

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