Considere o sólido
determinado pelas desigualdades
. Seja
uma função contínua em
, é correto afirmar que
, para toda função contínua
, se:
a)
e
.
b)
e
.
c)
e
.
d)
e
.
e)
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O sólido
é a interseção da esfera de centro
e raio
,
com a região acima do cone definido por
Para montar a integral em coordenadas esféricas, vamos usar
com
,
Jacobeano .
Jacobeano
Passo 2
Em coordenadas esféricas, a esfera satisfaz
Expandindo:
Portanto, para cada
a coordenada radial varia de
até
.
Passo 3
A condição do cone
em esféricas fica
Assim,
varia de
a
e
de
a
.
Passo 4
Juntando tudo, a integral de
sobre
em coordenadas esféricas é
Logo, o fator
é
e os limites em
vão de
a
.
Resposta
c)
e
.