Seja a função g(x, y)=rrx^2-x yx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
Determine partial gpartial x(0,0) e partial gpartial y(0,0), caso existam.

Passo 1

O enunciado pede para achar as derivadas parciais de
g(x,y)=dfracx^2-xyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
no ponto (0,0). Vamos usar a definição de derivada parcial, ou seja, o limite do quociente incremental ao longo do eixo x ou y.

Passo 2

Para partial gpartial x(0,0) aplicamos
partial gpartial x(0,0)=limhto0g(h,0)-g(0,0)h
Como
g(h,0)=h^2-hcdot0h^2+0=1,
e g(0,0)=0, o quociente é
1-0h=1h,
que não tem limite finito quando hto0. Logo, partial gpartial x(0,0) não existe.

Passo 3

Para partial gpartial y(0,0) usamos
partial gpartial y(0,0)=limhto0g(0,h)-g(0,0)h
Aqui
g(0,h)=0-hcdot00+h^2=0,
então o quociente é
0-0h=0
para todo hneq0, e o limite é 0. Portanto, partial gpartial y(0,0)=0.

Resposta

partial gpartial x(0,0) não existe e partial gpartial y(0,0)=0.

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