Utilize o primeiro princípio de indução para mostrar que são válidas as seguintes igualdades (neste exercício, use as propriedades dos números naturais como você já conhece livremente, incluindo as de divisão):
1+1.1!+2.2!+3.3!+cdots+n n!=(n+1) !

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre n, que a soma
S(n)=1 + 1cdot1! + 2cdot2! + 3cdot3! + cdots + ncdot n!
é igual a (n+1)!. O conteúdo principal é o princípio de indução matemática e a propriedade
(k+1)!=(k+1),k!

Passo 2

Base da indução ( n=1).
Calculamos
S(1)=1 + 1cdot1! = 1 + 1 = 2
e
(1+1)!=2!=2
Logo S(1)=(1+1)!, ou seja, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo – hipótese de indução.
Suponha que, para algum n>=1, valha
S(n)=1 + sumk=1^nkcdot k! = (n+1)!

Passo 4

Mostramos que a fórmula vale para n+1.
S(n+1) =1 + sumk=1^n+1kcdot k! =l(1 + sumk=1^nkcdot k!r) + (n+1),(n+1)! =S(n) + (n+1),(n+1)!
Pela hipótese de indução S(n)=(n+1)!, então
S(n+1)=(n+1)! + (n+1),(n+1)!=(n+1)!l[1+(n+1)r]=(n+1)!(n+2)=(n+2)!
Isso mostra que, se vale para n, vale também para n+1.

Resposta

Para todo ninN,
1 + 1cdot1! + 2cdot2! + 3cdot3! + cdots + ncdot n! = (n+1)!

Exercícios relacionados