Utilize o primeiro princípio de indução para mostrar que são válidas as seguintes igualdades (neste exercício, use as propriedades dos números naturais como você já conhece livremente, incluindo as de divisão):
!
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução sobre
, que a soma
é igual a
. O conteúdo principal é o princípio de indução matemática e a propriedade
Passo 2
Base da indução (
).
Calculamos
Calculamos
e
Logo
, ou seja, a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo – hipótese de indução.
Suponha que, para algum , valha
Suponha que, para algum
Passo 4
Mostramos que a fórmula vale para
.
Pela hipótese de indução
, então
Isso mostra que, se vale para
, vale também para
.
Resposta
Para todo
,