Seja a função g(x, y)=rrx^2-x yx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
Determine partial gpartial x(x, y) e partial gpartial y(x, y) fora da origem, ou seja, (x, y) neq(0,0).

Passo 1

O enunciado define
g(x,y)=x^2-xyx^2+y^2para (x,y)neq(0,0)
e pede as derivadas parciais fora da origem. O conteúdo é a regra do quociente em funções de duas variáveis. Vamos chamar
N(x,y)=x^2-xy
D(x,y)=x^2+y^2

Passo 2

Para partial gpartial x usamos a fórmula do quociente
partial gpartial x =partial Npartial x,D - N,partial Dpartial xD^2
onde
partial Npartial x=2x-y
e
partial Dpartial x=2x

Passo 3

Substituindo em partial gpartial x o numerador fica
(2x-y)(x^2+y^2)-(x^2-xy),2x =2x y^2 + x^2 y - y^3
e assim
partial gpartial x =2x y^2 + x^2 y - y^3(x^2+y^2)^2 =y(x^2+2xy-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

Para partial gpartial y aplicamos
partial gpartial y =partial Npartial y,D - N,partial Dpartial yD^2
onde
partial Npartial y=-x
e
partial Dpartial y=2y.
O numerador é
(-x)(x^2+y^2)-(x^2-xy),2y =-x^3-2x^2y+xy^2 =-x(x^2+2xy-y^2)
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partial gpartial y =-x(x^2+2xy-y^2)(x^2+y^2)^2

Resposta

partial gpartial x(x,y) =y(x^2+2xy-y^2)(x^2+y^2)^2
partial gpartial y(x,y) =-x(x^2+2xy-y^2)(x^2+y^2)^2

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