Utilize o primeiro princípio de indução para mostrar que são válidas as seguintes igualdades (neste exercício, use as propriedades dos números naturais como você já conhece livremente, incluindo as de divisão):
3+6+9+cdots+3 n=3 n(n+1)2, para todo n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que a soma dos primeiros n múltiplos de 3 satisfaz
3 + 6 + 9 + cdots + 3n = 3n(n+1)2,
para todo n>=1. O método de primeiro princípio de indução exige dois ingredientes:
  1. Verificar o caso base (a fórmula vale para n=1).
  2. Supondo que valha para um n genérico (hipótese de indução), mostrar que vale para n+1 (passo indutivo).

Passo 2

Caso base ( n=1):
Lado esquerdo: 3.
Lado direito:
3cdot 1cdot(1+1)2 = 3cdot1cdot22 = 62 = 3
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para algum n>=1,
3 + 6 + cdots + 3n = 3n(n+1)2
Devemos mostrar que então
3 + 6 + cdots + 3n + 3(n+1) = 3(n+1)l((n+1)+1r)2
Começamos acrescentando 3(n+1) ao lado esquerdo e aplicamos a hipótese de indução:
3 + 6 + cdots + 3n + 3(n+1) = 3n(n+1)2 + 3(n+1)
Fatorando (n+1) e escrevendo 3 = tfrac62, temos
3n(n+1)2 + 3(n+1) = (n+1)l(tfrac3n2 + 3r) = (n+1)3n + 62 = 3(n+1)(n+2)2
Como n+2 = (n+1)+1, concluímos que
3 + 6 + cdots + 3(n+1) = 3(n+1)l((n+1)+1r)2

Passo 4

Pelo princípio de indução, a igualdade vale para n=1 e de n para n+1, logo é verdadeira para todo n>=1.

Resposta

3 + 6 + 9 + cdots + 3n = 3n(n+1)2, para todo n>=1

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