Utilize o primeiro princípio de indução para mostrar que são válidas as seguintes igualdades (neste exercício, use as propriedades dos números naturais como você já conhece livremente, incluindo as de divisão):
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que a soma dos primeiros
múltiplos de 3 satisfaz
para todo
. O método de primeiro princípio de indução exige dois ingredientes:
- Verificar o caso base (a fórmula vale para
). - Supondo que valha para um
genérico (hipótese de indução), mostrar que vale para (passo indutivo).
Passo 2
Caso base (
):
Lado esquerdo: .
Lado direito:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que, para algum
,
Devemos mostrar que então
Começamos acrescentando
ao lado esquerdo e aplicamos a hipótese de indução:
Fatorando
e escrevendo
, temos
Como
, concluímos que
Passo 4
Pelo princípio de indução, a igualdade vale para
e de
para
, logo é verdadeira para todo
.