Considere o sólido G, limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=8 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2.
Encontre o volume do sólido usando uma das integrais escritas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido G limitado acima pela esfera
x^2+y^2+z^2=8
e abaixo pelo cone
z=raizx^2+y^2
Como a região tem simetria radial, vamos usar coordenadas esféricas (rho,theta,phi), em que
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e o elemento de volume é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Precisamos determinar os limites em rho, phi e theta.
  • A esfera x^2+y^2+z^2=8 vira rho=raiz8. Logo 0<=rho<=raiz8.
  • O cone z=raizx^2+y^2 em esféricas é rhocosphi=rhosinphi Longrightarrow cosphi=sinphi Longrightarrow phi=pi4 Como queremos a parte acima do cone, phi varia de 0 até pi/4.
  • theta varia em toda circunferência: 0<=theta<=2pi.

Passo 3

O volume é dado por
V=integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/4integralrho=0^raiz8 rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^raiz8rho^2,drho =[rho^33]0^raiz8 =(raiz8)^33 =(2raiz2)^33 =16raiz23
Então
V =integral0^2pidtheta integral0^pi/416raiz23,sinphi,dphi

Passo 5

Agora a integral em phi:
integral0^pi/4sinphi,dphi =l[-cosphir]0^pi/4 =1-cospi4 =1-raiz22 =2-raiz22
Logo
V =2picdot16raiz23cdot2-raiz22 =16raiz2,pi3,(2-raiz2)

Passo 6

Basta simplificar o fator:
16raiz2,(2-raiz2) =32raiz2-16cdot2 =32raiz2-32 =32(raiz2-1)
Portanto
V=32pi(raiz2-1)3

Resposta

boxedV=32pi(raiz2-1)3

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