Considere o sólido G, limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
.
Encontre o volume do sólido usando uma das integrais escritas.
Encontre o volume do sólido usando uma das integrais escritas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
Como a região tem simetria radial, vamos usar coordenadas esféricas
, em que
e o elemento de volume é
Passo 2
Precisamos determinar os limites em
,
e
.
- A esfera
vira . Logo . - O cone
em esféricas é Como queremos a parte acima do cone, varia de até . -
varia em toda circunferência: .
Passo 3
O volume é dado por
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Então
Passo 5
Agora a integral em
:
Logo
Passo 6
Basta simplificar o fator:
Portanto