(a) Mostre que se o lucro
for máximo, então a receita marginal é igual ao custo marginal.
(b) Se
for a função custo e
a função demanda, encontre o nível de produção que maximiza o lucro.
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar, em termos de derivadas, que se o lucro
atinge máximo então a receita marginal é igual ao custo marginal; (b) dado
e a demanda
, encontrar
que maximiza o lucro.
O conteúdo é otimização de funções em cálculo diferencial: definimos , calculamos derivadas (marginais) e impondo
.
O conteúdo é otimização de funções em cálculo diferencial: definimos
Passo 2
Em geral, a receita total é
o custo é
e o lucro é
Para ter máximo de
em um ponto interior, precisamos de
Mas
logo
implica
ou seja, receita marginal
custo marginal.
Passo 3
Calculemos as marginais para o caso dado:
Para o custo:
Passo 4
Igualando marginais:
Reorganizando:
Dividindo por
:
As raízes são
resultando em
ou
. Descartamos
, ficando
.
Passo 5
Para garantir que é máximo, note que
logo é realmente um ponto de máximo.
Resposta
(a) Em um ponto de máximo de
tem-se
, isto é,
ou seja, receita marginal igual custo marginal.
(b) O nível de produção que maximiza o lucro é
(b) O nível de produção que maximiza o lucro é