(a) Mostre que se o lucro P(x) for máximo, então a receita marginal é igual ao custo marginal.
(b) Se C(x)=16000+500 x-1,6 x^2+0,004 x^3 for a função custo e p(x)=1700-7 x a função demanda, encontre o nível de produção que maximiza o lucro.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar, em termos de derivadas, que se o lucro P(x) atinge máximo então a receita marginal é igual ao custo marginal; (b) dado
C(x)=16000 + 500 cdot x - 1,6 cdot x^2 + 0,004 cdot x^3
e a demanda p(x)=1700 - 7 cdot x, encontrar x que maximiza o lucro.
O conteúdo é otimização de funções em cálculo diferencial: definimos P(x)=R(x)-C(x), calculamos derivadas (marginais) e impondo P'(x)=0.

Passo 2

Em geral, a receita total é
R(x)=x,p(x),
o custo é C(x) e o lucro é
P(x)=R(x)-C(x)
Para ter máximo de P em um ponto interior, precisamos de
P'(x)=0
Mas
P'(x)=R'(x)-C'(x),
logo P'(x)=0 implica
R'(x)=C'(x),
ou seja, receita marginal = custo marginal.

Passo 3

Calculemos as marginais para o caso dado:
R(x)=x,(1700-7x)=1700,x-7,x^2 Longrightarrow R'(x)=1700-14,x
Para o custo:
C'(x)=ddxl(16000+500,x-1,6,x^2+0,004,x^3r) =500-3,2,x+0,012,x^2

Passo 4

Igualando marginais:
1700-14,x = 500-3,2,x+0,012,x^2
Reorganizando:
0,012,x^2 + ( -3,2+14 ),x - (1700-500)=0 ;Longrightarrow; 0,012,x^2 +10,8,x -1200=0
Dividindo por 0,012:
x^2 +900,x -100000 =0
As raízes são
x = -900pmraiz900^2+4cdot1000002 = -900pm11002,
resultando em x=100 ou x=-1000. Descartamos x<0, ficando x=100.

Passo 5

Para garantir que é máximo, note que
P''(x)=R''(x)-C''(x) =(-14)-l(-3,2+0,024,xr) =-10,8-0,024,x<0 em x=100,
logo é realmente um ponto de máximo.

Resposta

(a) Em um ponto de máximo de P(x) tem-se P'(x)=0, isto é,
R'(x)=C'(x),
ou seja, receita marginal igual custo marginal.
(b) O nível de produção que maximiza o lucro é
x=100

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