Considere o sólido G, limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=8 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado nos dá o sólido G limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=8 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2. Para montar a integral em coordenadas esféricas, usamos as transformações
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
e o Jacobiano
J=rho^2sinphi

Passo 2

Em esféricas, a esfera vira
rho=raiz8=2raiz2,
e o cone satisfaz
rhocosphi=rhosinphi ;Longrightarrow; phi=pi4

Passo 3

A região G corresponde a
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi4, 0<=rho<=2raiz2

Resposta

V=integral0^2piintegral0^pi/4integral0^2raiz2 rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

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