(a) Se
for o custo para produzir x unidades de uma mercadoria, então o custo médio por unidade é
. Mostre que se o custo médio for mínimo, então o custo marginal é igual ao custo médio.
(b) Se
, em dólares, encontre (i) o custo, o custo médio e o custo marginal no nível de produção de 1000 unidades; (ii) o nível de produção que minimizará o custo médio; e (iii) o custo médio mínimo.
(b) Se
Passo 1
O enunciado trata de funções de custo em economia de escala. Temos uma função de custo total
, o custo médio por unidade definido por
e o custo marginal
. Na parte (a) precisamos mostrar, usando derivadas, que se
atinge mínimo em algum ponto, então nesse ponto vale
Na parte (b) dado
vamos (i) calcular
,
e
; (ii) encontrar o
que minimiza
; e (iii) o valor mínimo de
.
Passo 2
Para (a) calculamos a derivada de
Usando a regra do quociente,
Se
é mínimo em
, então
, o que dá
Passo 3
Agora (b)(i). Primeiro, derivamos
E o custo médio é
Em
:
Passo 4
Para (b)(ii) igualamos
(ou
). Fazendo
Passo 5
Em
o custo médio mínimo é
Resposta
(a) Se
é mínimo em
, então
implica
(b)(i)
(b)(ii)
.
(b)(iii) .
(b)(iii)