(a) Se C(x) for o custo para produzir x unidades de uma mercadoria, então o custo médio por unidade é c(x)=C(x) / x. Mostre que se o custo médio for mínimo, então o custo marginal é igual ao custo médio.
(b) Se C(x)=16000+200 x+4 x^3 / 2, em dólares, encontre (i) o custo, o custo médio e o custo marginal no nível de produção de 1000 unidades; (ii) o nível de produção que minimizará o custo médio; e (iii) o custo médio mínimo.

Passo 1

O enunciado trata de funções de custo em economia de escala. Temos uma função de custo total C(x), o custo médio por unidade definido por
c(x)=C(x)x,
e o custo marginal C'(x). Na parte (a) precisamos mostrar, usando derivadas, que se c(x) atinge mínimo em algum ponto, então nesse ponto vale
C'(x)=c(x)
Na parte (b) dado
C(x)=16000+200x+4x^3/2,
vamos (i) calcular C(1000), c(1000) e C'(1000); (ii) encontrar o x que minimiza c(x); e (iii) o valor mínimo de c(x).

Passo 2

Para (a) calculamos a derivada de
c(x)=C(x)x
Usando a regra do quociente,
c'(x) =C'(x),x - C(x),1x^2 =x,C'(x)-C(x)x^2
Se c(x) é mínimo em x, então c'(x)=0, o que dá
x,C'(x)-C(x)=0 Longrightarrow C'(x)=C(x)x=c(x)

Passo 3

Agora (b)(i). Primeiro, derivamos
C'(x)=200 + 4cdot32x^1/2 =200 + 6,x^1/2
E o custo médio é
c(x)=16000x+200+4,x^1/2
Em x=1000:
C(1000)=16000 +200cdot1000 +4,(1000)^3/2 =16000 +200000 +4cdot1000raiz1000 approx342491,1
c(1000)=C(1000)1000approx342,4911,
C'(1000)=200 +6raiz1000approx200+6cdot31,6228approx389,737

Passo 4

Para (b)(ii) igualamos C'(x)=c(x) (ou c'(x)=0). Fazendo
200+6raizx =16000x+200+4raizx Longrightarrow 2raizx=16000x Longrightarrow x^3/2=8000 Longrightarrow x=8000^2/3=400

Passo 5

Em x=400 o custo médio mínimo é
c(400) =16000400+200+4raiz400 =40+200+4cdot20 =320

Resposta

(a) Se c(x) é mínimo em x, então c'(x)=0 implica
C'(x)=C(x)x=c(x)
(b)(i)
C(1000)approx342491,1, c(1000)approx342,4911, C'(1000)approx389,737
(b)(ii) x=400.
(b)(iii) cmin=320.

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