Considere o sólido G, limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=8 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado nos pede o volume do sólido G limitado acima pela esfera
x^2+y^2+z^2=8
e abaixo pelo cone
z=raizx^2+y^2
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cilíndricas, onde usaremos
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z,
e o elemento de volume dV=r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a esfera fica
r^2+z^2=8Longrightarrow z=raiz8-r^2
(e tomamos a folha superior), e o cone é
z=r

Passo 3

Para achar o intervalo de r, igualamos as duas superfícies:
r^2+r^2=8Longrightarrow 2r^2=8Longrightarrow r^2=4Longrightarrow r=2
Como r>=0, temos 0<= r<=2.

Passo 4

Os limites ficam:
theta varia de 0 a 2pi,
r varia de 0 a 2,
e para dado r, z varia de zfundo=r até ztopo=raiz8-r^2.
O volume é então
V=integraltheta=0^2pi integralr=0^2 integralz=r^raiz8-r^2 r,dz,dr,dtheta

Resposta

V=integral0^2pi!integral0^2!integralr^raiz8-r^2r,dz,dr,dtheta

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