Dada a integral:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 e^-(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d z d y d x
Reescreva a integral, convertendo para coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever em coordenadas esféricas a integral
integral0^1integral0^raiz1-x^2integral0^raiz1-x^2-y^2e^-l(x^2+y^2+z^2r)^3/2,dz,dy,dx
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais triplas, usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Vamos identificar a região de integração. As desigualdades
0<= x<=1, 0<= y<=raiz1-x^2, 0<= z<=raiz1-x^2-y^2
definem o primeiro octante do interior da esfera de raio 1, ou seja,
x^2+y^2+z^2<=1, x>=0,;y>=0,;z>=0

Passo 3

Em coordenadas esféricas usamos as transformações
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com 0<=rho, 0<=phi<=pi, 0<=theta<2pi, e o elemento de volume
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

O integrando é
e^-l(x^2+y^2+z^2r)^3/2 =e^-l(rho^2r)^3/2 =e^-rho^3
Multiplicando pelo jacobiano, ficamos com e^-rho^3rho^2sinphi.

Passo 5

Como estamos no primeiro octante da esfera de raio 1, os limites tornam-se
0<=rho<=1, 0<=phi<=pi2, 0<=theta<=pi2

Resposta

integral0^pi/2!integral0^pi/2!integral0^1 e^-rho^3;rho^2sinphi;drho;dphi;dtheta

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