Dada a integral:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 e^-(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d z d y d x
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral dada.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral0^1integral0^raiz1-x^2integral0^raiz1-x^2-y^2 e^-l(x^2+y^2+z^2r)^3/2,dz,dy,dx
sobre a região em que x>=0, y>=0, z>=0 e x^2+y^2+z^2<=1. O conteúdo principal é mudar para coordenadas esféricas para simplificar o cálculo.

Passo 2

Interpretamos a região como o primeiro octante da esfera de raio 1. Em coordenadas esféricas usamos
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
com rin[0,1], phiin[0,pi/2] (pois z>=0) e thetain[0,pi/2] (pois x>=0,y>=0).

Passo 3

Em esféricas o integrando fica
(x^2+y^2+z^2)^3/2 = r^3,
e o elemento de volume é
dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta
Logo a integral vira
integral0^pi/2!integral0^pi/2!integral0^1 e^-r^3,r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 4

Podemos separar em três integrais:
l(integral0^pi/2dthetar) l(integral0^pi/2sinphi,dphir) l(integral0^1e^-r^3,r^2,drr)

Passo 5

Calculamos as integrais angulares:
integral0^pi/2dtheta = pi2, integral0^pi/2sinphi,dphi = 1

Passo 6

Falta a parte radial. Fazemos u = r^3, então du = 3r^2dr e
integral0^1e^-r^3,r^2,dr = 13integral0^1e^-u,du = 13l[,1 - e^-1r]
Multiplicando pelos fatores angulares:
pi2times1times13l(1 - e^-1r) = pi6l(1 - e^-1r)

Resposta

pi6l(1 - e^-1r)

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