Dada a integral:
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral dada.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
sobre a região em que
,
,
e
. O conteúdo principal é mudar para coordenadas esféricas para simplificar o cálculo.
Passo 2
Interpretamos a região como o primeiro octante da esfera de raio 1. Em coordenadas esféricas usamos
com
,
(pois
) e
(pois
).
Passo 3
Em esféricas o integrando fica
e o elemento de volume é
Logo a integral vira
Passo 4
Podemos separar em três integrais:
Passo 5
Calculamos as integrais angulares:
Passo 6
Falta a parte radial. Fazemos
, então
e
Multiplicando pelos fatores angulares: