Considere o sólido G, limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=8 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas retangulares.

Passo 1

O enunciado define o sólido G limitado acima pela esfera
x^2+y^2+z^2=8
e abaixo pelo cone
z=raizx^2+y^2
Queremos montar uma integral tripla em coordenadas retangulares para calcular o volume de G.

Passo 2

Para determinar a projeção de G no plano xy, igualamos as duas superfícies em z:
raizx^2+y^2 ;<=;raiz8-(x^2+y^2)
Elevando ao quadrado,
x^2+y^2<= 8-(x^2+y^2) Longrightarrow 2(x^2+y^2)<= 8 Longrightarrow x^2+y^2<= 4
Logo, a projeção é o disco de raio 2:
D=(x,y)mid x^2+y^2<= 4

Passo 3

Em cada ponto (x,y)in D, a coordenada z varia de
zmin=raizx^2+y^2 até zmax=raiz8-(x^2+y^2) é

Passo 4

Escrevendo a integral tripla para o volume V em coordenadas retangulares, temos
V=integral triplaGdV =integralx=-2^2 integraly=-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralz=raizx^2+y^2^raiz8-(x^2+y^2) 1;dz,dy,dx

Resposta

boxed V =integralx=-2^2 integraly=-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralz=raizx^2+y^2^raiz8-(x^2+y^2) dz,dy,dx

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