Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=0^infty x^nn+1

Passo 1

Então, temos a série de potências sumn=0^infty x^nn+1. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série, ou seja, até onde ela converge, e também determinar o intervalo de convergência onde a série realmente soma para um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

O Teste da Razão nos diz que, para uma série sum an, se limn to infty | an+1an | = L, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, an = x^nn+1.

Passo 3

Vamos calcular an+1an:
an+1an = x^n+1(n+1)+1x^nn+1 = x^n+1x^n cdot n+1n+2 = x cdot n+1n+2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | x cdot n+1n+2 | = |x| cdot limn to infty n+1n+2 = |x| cdot 1 = |x|

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.

Passo 6

Agora que sabemos que R = 1, o intervalo de convergência é -R < x < R, ou seja:
-1 < x < 1

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 < x < 1.

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