Seja F(x, y)=(y-1x^2+(y-1)^2-y, -xx^2+(y-1)^2),(x, y) neq(0,1). Calcule a integral de linha do campo F ao longo de C1: x^2+(y-1)^2=1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointC1vec Fcdot dvec r
do campo
vec F(x,y)=l(y-1x^2+(y-1)^2-y,;-xx^2+(y-1)^2r)
ao longo da curva C1:x^2+(y-1)^2=1 orientada anti-horário. Vamos usar parametrização da circunferência e calcular diretamente o produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos C1 por
vec r(t)=l(cos t,;1+sin tr), 0<= t<=2pi
Logo
vec r,'(t)=(-sin t,;cos t)

Passo 3

Ao longo de C1 temos x^2+(y-1)^2=1, então
F1=y-11-y=(y-1)-y=-1, F2=-x1=-x
Substituindo x=cos t, y=1+sin t, obtém-se
vec Fl(vec r(t)r)=(-1,;-,cos t)

Passo 4

O produto escalar é
vec Fl(vec r(t)r)cdotvec r,'(t) =(-1)(-sin t)+(-cos t)(cos t) =sin t-cos^2t
Portanto
ointC1vec Fcdot dvec r =integral0^2pil(sin t-cos^2tr),dt

Passo 5

Calculamos as integrais separadamente:
integral0^2pisin t,dt=0, integral0^2picos^2t,dt =pi
Logo
ointC1vec Fcdot dvec r =0-pi=-pi

Resposta

-pi

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