Verifique se a função dada é continua ou não. Se for descontinua, sugira uma mudança de maneira que ela se torne continua
f(x, y)=clx+y & x>0, y in R raizx^2+y^2 & x <= 0, y in R.

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente tem aqui é um exercício sobre continuidade de funções de duas variáveis. A função dada é f(x, y) e a gente precisa verificar se ela é contínua em todos os pontos do plano R^2 . Se não for contínua, vamos sugerir uma mudança para deixá-la contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e saber calcular limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função f(x, y) é contínua em um ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
Então, para verificar a continuidade da função dada, vamos analisar os limites em diferentes regiões do plano.

Passo 3

A função está definida de duas formas:
f(x, y) = x + y & se x > 0, raizx^2 + y^2 & se x <= 0
Vamos verificar a continuidade na linha onde x = 0 , pois é onde a definição da função muda.

Passo 4

Vamos calcular o limite de f(x, y) quando x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+ ) e pela esquerda ( x to 0^- ).
Para x > 0 :
limx to 0^+ f(x, y) = limx to 0^+ (x + y) = y
Para x <= 0 :
limx to 0^- f(x, y) = limx to 0^- raizx^2 + y^2 = raiz0 + y^2 = |y|

Passo 5

Agora, vamos comparar esses limites com o valor da função na linha x = 0 :
f(0, y) = raiz0^2 + y^2 = |y|
Então, temos que:
limx to 0^+ f(x, y) = y e limx to 0^- f(x, y) = |y|
Para a função ser contínua, esses limites precisam ser iguais e também iguais a f(0, y) .

Passo 6

Observamos que y e |y| são iguais somente quando y >= 0 . Se y < 0 , então y neq |y| , o que significa que a função tem uma descontinuidade quando y < 0 .

Passo 7

Para deixar a função contínua em todos os pontos, precisamos que os limites coincidam para todo y . Uma maneira de fazer isso é ajustar a definição da função para que, independente de como x se aproxima de 0, o valor limite seja sempre |y| . Portanto, podemos redefinir a função para que para x > 0 , ela seja igual a |y| em vez de x + y .

Resposta

A função f(x, y) não é contínua, pois apresenta descontinuidade quando y < 0 . Para torná-la contínua em todo o plano, podemos definir:
f(x, y) = |y| & se x > 0, raizx^2 + y^2 & se x <= 0

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