Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície do sólido
limitado pelas esferas de equações
e
, com
orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo de um campo vetorial através da superfície de um sólido limitado por duas esferas. O conteúdo principal aqui envolve Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência do campo vetorial e depois integrar isso sobre o volume entre as duas esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “força” que passa por essa superfície. Para calcular isso de forma mais fácil, usamos o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo no volume dentro dessa superfície.
Passo 3
Então, o campo vetorial que temos é:
E as esferas que limitam o sólido são:
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo vetorial, que é dada por:
Vamos derivar cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, a divergência fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz que o fluxo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume
:
Substituindo a divergência que encontramos:
Passo 6
Para facilitar a integração, é melhor usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral em
:
Depois, a integral em
:
E por fim, a integral em
:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície do sólido
é: