Determine o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z)=(x y^2+yy^2+z^2, y z^2+zx^2+z^2, x^2 z+xx^2+y^2)
através da superfície do sólido W limitado pelas esferas de equações x^2+y^2+z^2=a^2 e x^2+y^2+z^2=b^2, com 0<a<b orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo de um campo vetorial através da superfície de um sólido limitado por duas esferas. O conteúdo principal aqui envolve Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência do campo vetorial e depois integrar isso sobre o volume entre as duas esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “força” que passa por essa superfície. Para calcular isso de forma mais fácil, usamos o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo no volume dentro dessa superfície.

Passo 3

Então, o campo vetorial que temos é:
F(x, y, z) = (x y^2 + yy^2+z^2, y z^2 + zx^2+z^2, x^2 z + xx^2+y^2)
E as esferas que limitam o sólido são:
x^2+y^2+z^2=a^2 e x^2+y^2+z^2=b^2 com 0 < a < b

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo vetorial, que é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos derivar cada componente:
Para Fx = x y^2 + yy^2+z^2 :
partial Fxpartial x = y^2 + 0 = y^2
Para Fy = y z^2 + zx^2+z^2 :
partial Fypartial y = z^2 + 0 = z^2
Para Fz = x^2 z + xx^2+y^2 :
partial Fzpartial z = x^2 + 0 = x^2
Então, a divergência fica:
nabla cdot F = x^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz que o fluxo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume W :
Fluxo = integral triplaW (nabla cdot F) , dV
Substituindo a divergência que encontramos:
Fluxo = integral triplaW (x^2 + y^2 + z^2) , dV

Passo 6

Para facilitar a integração, é melhor usar coordenadas esféricas, onde:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sin(phi) , dr , dphi , dtheta
Então, a integral fica:
Fluxo = integral0^2pi integral0^pi integrala^b r^2 cdot r^2 sin(phi) , dr , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi integrala^b r^4 sin(phi) , dr , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral em r :
integrala^b r^4 , dr = [ r^55 ]a^b = b^5 - a^55
Depois, a integral em phi :
integral0^pi sin(phi) , dphi = 2
E por fim, a integral em theta :
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 8

Agora, juntando tudo:
Fluxo = 2pi times 2 times b^5 - a^55 = 4pi5 (b^5 - a^5)

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície do sólido W é:
4pi5 (b^5 - a^5)

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