Resolva as E. D. O.s de 1a. ordem abaixo e os P.V.I usando a técnica que for conveniente.
d yd x=1x+y^2, y(-2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O. de primeira ordem
dydx = 1x + y^2, y(-2)=0
O truque aqui é notar que não é diretamente separável, mas podemos inverter para obter uma equação linear em x como função de y.

Passo 2

Invertendo tanto o diferencial quanto o lado direito da E.D.O., obtemos
dxdy = x + y^2
Essa é uma E.D.O. linear na incógnita x(y).

Passo 3

Escrevendo na forma padrão de equação linear em x:
dxdy - x = y^2
Aqui o coeficiente de x é -1 e o termo independente é y^2.

Passo 4

O fator integrante é
mu(y) = e^integral -1,dy = e^-y
Multiplicando toda a equação por mu(y)
e^-ydxdy - e^-yx = y^2 e^-y,
e o lado esquerdo se reconhece como a derivada
ddyl(x,e^-yr)

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a y:
ddyl(x,e^-yr) = y^2 e^-yLongrightarrow x,e^-y = integral y^2 e^-y,dy + C
Para calcular integral y^2 e^-ydy, fazemos por partes duas vezes e achamos
integral y^2 e^-ydy = -e^-yl(y^2 + 2y + 2r) + C1

Passo 6

Substituindo o resultado da integral:
x,e^-y = -e^-yl(y^2+2y+2r) + CLongrightarrow x = -l(y^2+2y+2r) + C,e^y

Passo 7

Usamos a condição inicial y(-2)=0. Substituindo x=-2 e y=0:
-2 = -l(0^2+2cdot0+2r) + C,e^0 Longrightarrow -2 = -2 + C Longrightarrow C=0

Passo 8

Com C=0, a solução implícita fica
;x = -l(y^2+2y+2r)
Agora isolamos y em função de x.

Passo 9

Escrevendo
y^2 + 2y + 2 + x = 0
e aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = -2 pm raiz4 - 4,(2+x)2 = -2 pm raiz-4x -42 = -1 pm raiz-,x -1
Para respeitar y(-2)=0, escolhemos o sinal “ +”, pois em x=-2 -1+1=0.

Resposta

boxedy(x) = -1 + raiz-,x -1, x <= -1

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